Многоканальные системы массового обслуживания с ожиданием, страница 3

Таким образом, если в СМО находится хотя бы одна заявка, то все n каналов заняты. Освободившиеся каналы немедленно приступают к обслуживанию находящихся в СМО заявок.

Взаимопомощь между каналами описанного типа называется равномерной.

Если интенсивность потока обслуживаний системой функционально зависит от числа каналов kследующим образом:

где k_кр — некоторое критическое число каналов системы, ( см график функции φ(k)на рис. 12.1) и n <= k_кр , то для суммарной интенсивности обслуживании, которая равна nμ, безразлично какое принято количественное распределение каналов по об­служиваемым заявкам, лишь бы в системе присутствовала хотя бы одна заявка, поскольку при любом распределении все п ка­налов будут заняты.

Припишем каждому состоянию системы номер, равный числу заявок в системе, который, в силу того, что данная сис­тема — система с отказами, совпадает с числом заявок, нахо­дящихся в состоянии обслуживания:

s₀— в системе нет заявок, все я каналов свободны;

s₁— в системе 1 заявка под обслуживанием всеми п каналами;

s₂ — в системе 2 заявки, все  каналы заняты;

. . .

s_к — в системе kзаявок, все  каналы заняты;

. . .

s_n - в системе п заявок, каждая из которых обслуживается только одним каналом, все каналы заняты.

Таким образом, рассматриваемая СМО может пребывать только в одном из п+1 указанных состояний, размеченный граф которых представлен на рис. 15.1.

Рис. 15.1.

Этот граф получается из графа на рис. 5.1 при замене в последнем т+1 на n и μ на пμ. Таким образом, граф на рис. 15.1 представляет  собой   граф  состояний   одноканальной   С МО   с ожиданием, ограничением на длину очереди с максимальным числом мест в очереди т = п— 1 и с интенсивностью потока обслуживаний  пμ  (см.  раздел 5).   Поэтому  характеристики  рассматриваемой  системы  можно  получить  из  соответствующих характеристик раздела 5.

Таблица 15.1

Параметры многоканальной СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения, формулы
1	Число каналов обслуживания	п>2
2	Интенсивность входящего про­стейшего потока заявок Пвх	in Пвх = λ = const (λне зависит от времени t)
3	Интенсивность простейшего "по­тока обслуживаний" каждым   кана­лом	μ = const  (μ не зависит от времени t)
4	Интенсивность простейшего "по­тока обслуживании" одновременно п каналами	n μ
5	Нет ограничений на максимальную длину очереди	m = + ∞
6	Дисциплина взаимопомощи между каналами	"Равномерная"

Таблица 15.2

Характеристики эффективности функционирования  многоканальной СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки системы	ρ = λ/μ
2	Показатель   нагрузки системы,      приходя­щейся на один канал	ψ = ρ/n = λ/μn
3	Вероятности  состоя­ний
4	Вероятность отказа	, если Ψ ≠ 1; Ротк, + = Рn, + =    1 / (n + 1)                 , если Ψ = 1
5	Вероятность   приема в систему, или что то же, вероятность того, что     заявка     будет обслужена
6	Относительная   про­пускная способность	Q+ = pсис, + = pоб, + = 1 – pотк, + = =  , если Ψ ≠ 1;      n / (n + 1)             , если Ψ = 1
7	Абсолютная     пропу­скная способность	A+ = λQ+
8	Интенсивность     вы­ходящего         потока	ν+  = A+ = λ
9	Среднее число зая­вок в системе или что тоже, среднее число заявок под обслуживанием
10	Среднее число заня­тых каналов
11	Среднее время пребы­вания заявки в системе
12	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает вероятность отказа	ротк,+ < ротк
13	Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает относительную пропу­скную способность СМО	Q + >  Q
14	Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает абсолютную пропу­скную способность СМО	A + > A
15	Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает среднее число занятых каналов	K + > K
16	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее число заявок в системе	N сис,+ < N сис
17	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее время пребывания заявки в системе	T сис,+ < T сис

16. Многоканальная СМО с ожиданием и «равномерной» взаимопомощью между каналами

Рассмотрим n-канальную (n > 2) СМО с ожиданием, макси­мальная длина очереди в которой ограничивается т > 1 заявка­ми. Каналы обслуживают заявки с "равномерной" взаимопо­мощью, и функция интенсивности обслуживания φ(k) = kμ. Будем предполагать, что п < k_кр и тогда φ(n) = nμ. Входящий поток заявок простейший с интенсивностью К.

Заявка, поступившая на вход СМО, когда в очереди уже стоят т заявок (т.е. все места в очереди заняты), покидает СМО необслуженной.

Пронумеровав состояния системы по числу заявок, находя­щихся в СМО, получим следующие состояния:

s₀— в системе нет заявок, все n каналов свободны;  очереди нет ;

s₁ — в системе 1 заявка, которая обслуживается всеми п ка­налами, очереди нет;

s₂ — в системе 2 заявки, все я каналов заняты, очереди нет;

.  .  .

s_к — в системе kзаявок, все п каналов заняты, очереди нет;

s_n — системе я заявок, каждая из которых обслуживается только одним каналом, все л каналов заняты, очереди нет;

s_n+1 — в системе n+1 заявка, n заявок под обслуживанием, все n каналов заняты, 1 заявка в очереди;

. .  .

s_nь-  в системе п+т заявок, п заявок под обслуживанием, все я каналов заняты, т заявок в очереди.