Многоканальные системы массового обслуживания с ожиданием, страница 3

Таким образом, если в СМО находится хотя бы одна заявка, то все n каналов заняты. Освободившиеся каналы немедленно приступают к обслуживанию находящихся в СМО заявок.

Взаимопомощь между каналами описанного типа называется равномерной.

Если интенсивность потока обслуживаний системой функционально зависит от числа каналов kследующим образом:

где kкр — некоторое критическое число каналов системы, ( см график функции φ(k)на рис. 12.1) и n <= kкр , то для суммарной интенсивности обслуживании, которая равна nμ, безразлично какое принято количественное распределение каналов по об­служиваемым заявкам, лишь бы в системе присутствовала хотя бы одна заявка, поскольку при любом распределении все п ка­налов будут заняты.

Припишем каждому состоянию системы номер, равный числу заявок в системе, который, в силу того, что данная сис­тема — система с отказами, совпадает с числом заявок, нахо­дящихся в состоянии обслуживания:

s0в системе нет заявок, все я каналов свободны;

s1в системе 1 заявка под обслуживанием всеми п каналами;

s2 в системе 2 заявки, все  каналы заняты;

. . .

sк — в системе kзаявок, все  каналы заняты;

. . .

sn - в системе п заявок, каждая из которых обслуживается только одним каналом, все каналы заняты.

Таким образом, рассматриваемая СМО может пребывать только в одном из п+1 указанных состояний, размеченный граф которых представлен на рис. 15.1.

Рис. 15.1.

Этот граф получается из графа на рис. 5.1 при замене в последнем т+1 на n и μ на пμ. Таким образом, граф на рис. 15.1 представляет  собой   граф  состояний   одноканальной   С МО   с ожиданием, ограничением на длину очереди с максимальным числом мест в очереди т = п— 1 и с интенсивностью потока обслуживаний  пμ  (см.  раздел 5).   Поэтому  характеристики  рассматриваемой  системы  можно  получить  из  соответствующих характеристик раздела 5.

Таблица 15.1

Параметры многоканальной СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами

№ п/п

Параметры

Обозначения, значения, формулы

1

Число каналов обслуживания

п>2

2

Интенсивность входящего про­стейшего потока заявок Пвх

in Пвх = λ = const

(λне зависит от времени t)

3

Интенсивность простейшего "по­тока обслуживаний" каждым   кана­лом

μ = const

 (μ не зависит от времени t)

4

Интенсивность простейшего "по­тока обслуживании" одновременно п каналами

n μ

5

Нет ограничений на максимальную длину очереди

m = + ∞

6

Дисциплина взаимопомощи между каналами

"Равномерная"

Таблица 15.2

Характеристики эффективности функционирования  многоканальной СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами

№ п/п

Предельные характеристики

Обозначения, формулы

1

Показатель (коэффициент) нагрузки системы

ρ = λ/μ

2

Показатель   нагрузки системы,      приходя­щейся на один канал

ψ = ρ/n = λ/μn

3

Вероятности  состоя­ний

4

Вероятность отказа

                           , если Ψ ≠ 1;

Ротк, + = Рn, + =    1 / (n + 1)                 , если Ψ = 1

5

Вероятность   приема в систему, или что то же, вероятность того, что     заявка     будет обслужена

6

Относительная   про­пускная способность

Q+ = pсис, + = pоб, + = 1 – pотк, + =

, если Ψ ≠ 1;

     n / (n + 1)             , если Ψ = 1

7

Абсолютная     пропу­скная способность

A+ = λQ

8

Интенсивность     вы­ходящего         потока

ν= A+ = λ

9

Среднее число зая­вок в системе или что тоже, среднее число заявок под обслуживанием

10

Среднее число заня­тых каналов

11

Среднее время пребы­вания заявки в системе

12

Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает вероятность отказа

ротк,+ < ротк

13

Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает относительную пропу­скную способность СМО

Q + >  Q

14

Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает абсолютную пропу­скную способность СМО

A + > A

15

Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает среднее число занятых каналов

K + > K

16

Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее число заявок в системе

N сис,+ < N сис

17

Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее время пребывания заявки в системе

T сис,+ < T сис

16. Многоканальная СМО с ожиданием и «равномерной» взаимопомощью между каналами

Рассмотрим n-канальную (n > 2) СМО с ожиданием, макси­мальная длина очереди в которой ограничивается т > 1 заявка­ми. Каналы обслуживают заявки с "равномерной" взаимопо­мощью, и функция интенсивности обслуживания φ(k) = kμ. Будем предполагать, что п < kкр и тогда φ(n) = nμ. Входящий поток заявок простейший с интенсивностью К.

Заявка, поступившая на вход СМО, когда в очереди уже стоят т заявок (т.е. все места в очереди заняты), покидает СМО необслуженной.

Пронумеровав состояния системы по числу заявок, находя­щихся в СМО, получим следующие состояния:

s0в системе нет заявок, все n каналов свободны;  очереди нет ;

s1в системе 1 заявка, которая обслуживается всеми п ка­налами, очереди нет;

s2 — в системе 2 заявки, все я каналов заняты, очереди нет;

.  .  .

sкв системе kзаявок, все п каналов заняты, очереди нет;

snсистеме я заявок, каждая из которых обслуживается только одним каналом, все л каналов заняты, очереди нет;

sn+1в системе n+1 заявка, n заявок под обслуживанием, все n каналов заняты, 1 заявка в очереди;

. .  .

snьв системе п+т заявок, п заявок под обслуживанием, все я каналов заняты, т заявок в очереди.