Расчёт периода сигнала. Определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала и построение их графиков

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Расчетно-графическая работа по курсу

«Теория обработки сигналов»

5 - й семестр

Вариант – 6,7.

Cтудентка: Березикова Н.                            Преподаватель:

Факультет: АВТ                                             Еленычев С.В.

Группа АО-31                                                 

Новосибирск

2005

Раздел1.

1.6.  Найдите  период сигнала

 
Ответ.   Период  T = π.

То есть период x(t)=π.

1.7.  Исследуйте характер поведения экспоненциального сигнала дискретного времени   при комплексных  значениях  .

X[n]=

Используя формулу Эйлера   , функцию x[n] можно выразить в виде

  

Если а по модулю меньше единицы, то в области положительных значений n амплитуда функции будет затухающей. В области отрицательных значений n, наоборот – возрастающей. Если а по модулю больше единицы, то функция затухает в области отрицательных значений n, возрастает в положительной области. И действительная, и мнимая части являются затухающими (возрастающими) гармониками.

Изобразим график действительной части для а=e, что >1; =π/6; w=5; С=1:

n=-10:1:10;

x=exp(n).*cos((pi./6)+5*n);

subplot(211);

stem(n,x);

n1=-10:0.05:10;

x1=exp(n1).*cos((pi./6)+5*n1);

subplot(212);

plot(n1,x1);

Теперь построим график для а<1, возьмем e^-1, остальные данные такие же.

n=-10:1:10;

x=exp(-n).*cos((pi./6)+5*n);

subplot(211);

stem(n,x);

n1=-10:0.05:10;

x1=exp(-n1).*cos((pi./6)+5*n1);

subplot(212);

plot(n1,x1);

Для каждого случая выведены 2 графика, один из которых является графиком для дискретного времени, а второй выводится для большей наглядности того, что сигнал состоит из возрастающих (затухающих) гармоник действительной и мнимой части (для мнимой гармоникой будет являться синус).

Раздел2.

    2.6. Определите коэффициенты и ряд  Фурье сигнала

Ответ.  

2.7. Определите амплитудный и фазовый спектры  периодического сигнала и постройте их графики.

 

Ответ.    , 

Модуль этого коэффициента равен:

 

k=-8:0.1:8;

subplot(211);

y=sinc(k*pi./4)./2;

plot(k,y);

title('Amplitude');

f=-k*pi./4;

subplot(212);

plot(k,f);

title('Phase')

Графики для амплитудного и фазового спектров.

Раздел3.

3.6. Найдите преобразование Фурье и постройте график амплитудного спектра сигнала

Ответ:       

Умножение сигнала на экспоненту, где в степени есть зависимость от времени и мнимого числа во временной области, приведет к сдвигу на w₀ в частотной области. Это свойство преобразования Фурье можно применить и в данном примере.

То есть в частотной области преобразование Фурье заданного сигнала будет равно:

Так как функция является действительной, то она сама будет определять амплитудный спектр, поэтому можно написать такую программу, если присвоить a и w0 какие-то определенные значения, например а=2, w0=1.5:

w=-4*pi:0.01*pi:4*pi;

a=2;

w0=1.5;

x=a./(a.^2+(w-w0).^2);

y=a./(a.^2+(w+w0).^2);

z=x+y;

plot(w,z);

title('Amplitude');

xlabel('Chastota,rad/sec');

ylabel('abs[x(jw)]');

Построим график амплитудного спектра для данных значений а и w0.

3.7. Дано дифференциальное уравнение, связывающее вход x(t) и выход y(t) системы
                                .
Найдите преобразование Фурье этого уравнения. Определите отношение преобразований Фурье левой и правой части, т.е.   . Постройте приближенные графики модуля и фазы этого отношения от частоты. Дайте интерпретацию смысла функций на графиках.

Ответ.     .

Преобразование Фурье для y:

Преобразование Фурье для x:

АЧХ:

Вещественная часть для a>0 всегда положительна, поэтому:

Пусть а=2

w=0:0.1:30;

a=2;

W=(a-w*j)./(a.^2+w.^2);

y=abs(W);

subplot(211);

plot(w,y);

title('Amplitude')

xlabel('Chastota')

subplot(212);

f=angle(W);

plot(w,f);

title('Phase')

xlabel('chastota')

ylabel('Ugol,rad')

На графиках изображены амплитудный и фазовый спектры. Интерпретацию смысла функций можно показать с помощью рисунка:

На рисунке показана окружность и стрелка, которая имея какую-либо угловую скорость w может вращаться на угол φ, который определяет фазовый спектр, а ее длину определяет амплитудный спектр. График, который получается в результате «совмещения» двух спектров называется годографом.

Раздел4.

4.6. Докажите, что для действительной последовательности  x[n]  амплитудный спектр   является  четной функцией  от ω, а фазовый спектр

- нечетной функцией  от  ω.

Сигнал x[n] можно представить в виде суммы четной и нечетной составляющей:

X[n]=x_e[n]+x_o[n], где первая – это четная составляющая, а вторая – нечетная.

Подставим это выражение в первую формулу:

Так как бесконечная сумма нечетной функции равна 0, запишем это равенство в следующем виде:

 

Для амплитудного спектра видно, что под корнем получается четная функция, а значит и сам корень является четной функцией.

Для фазового спектра - так как в сумму числителя входит sin, то функция является нечет.

4.7. Найдите вид сигнала x[n],  ДВПФ которого 

.

Ответ.    x[-2]=1,5,        x[-1]=1,          x[0]=1,    x[1]= -1,    x[2]=1,5.

 

Раздел5.

5.6. Вычислите свертку сигналов

Изобразите  график свертки.

Ответ. 

x1=[1 1 1 0 0];

x2=[0 0 1 1 1 1 1 1];

n1=length(x1);

n2=length(x2);

y=conv(x1,x2);

k=1:1:n1+n2-1;

stem(k,y);

Свертка.

5.7. Вычислите свертку двух непрерывных сигналов и изобразите её график

 

Ответ.  

Для данных функций, при зеркальном отображении сигнала x относительно оси ординат, пересечение происходит при значении t=-1. Затем отрезок, на котором происходит пересечение начинает увеличиваться, поэтому пределы интеграла стоит выбрать от -1 и до t. Но с того момента, как t станет равным 3 отрезок пересечения будет постоянным и при t=3 уже стоит брать границы интегрирования такие: от (t-4) и до (t).

То есть