Линейные непрерывные стационарные системы

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»,     5 - й семестр

Отчет

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ  РАБОТЕ  № 7

«ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ

СТАЦИОНАРНЫЕ  СИСТЕМЫ»

Факультет: АВТ

Группа: АО-21

Студент: Подолец А.М.                Преподаватель: Щетинин Ю.И.

Новосибирск, 2004

Цель работы:ознакомление с динамическими характеристиками  линейных непрерывных стационарных систем  и их использованием для анализа систем в среде MATLAB.

1. Определение передаточной функции активного фильтра.

Данный фильтр является простым фильтром высоких частот – фильтром Саллена и Ки. В качестве усилителя с единичным коэффициентом усиления используется ОУ в режиме неинвертирующего повторителя. Такой фильтр лучше использовать при малой полосе пропускания. Повторитель использую для удаления шумов, так как отфильтрованный сигнал имеет очень маленькую амплитуду.

C=0,5 мкФ,   R=1 кОм

Найдем передаточную функцию

Согласно второму закону Ома для комплексных величин,

А если принимать во внимание только модули комплексных амплитуд, то «отклик» схемы будет определяться следующим образом

, где

2. С помощью функции  roots() Нахождение нулей, полюсов и коэффициента усиления системы  фильтра с помощью функций roots() и tf2zp().Построение диаграммы нулей и полюсов с помощью функции zplane(z,p).

Подставив в передаточную функцию значения элементов и получим:

Файл-сценарий MatLab для определения полюсов передаточной функции с использованием команды roots():

%H=0.0005*p./(0.0005*p+1);

p = [0    0.0005   1];

r = roots(p);

r

Результат: r  = -2000

Вычислим нули, полюса и коэффициент усиления системы фильтра с помощью функции tf2zp().

Файл-сценарий MatLab для определения нулей, полюсов и коэффициента усиления системы фильтра с помощью функции tf2zp():

b = [0.0005];

a = [0.0005  1];

[b,a] = eqtflength(b,a); % Выравниваем длины векторов

[z,p,k] = tf2zp(b,a) % Получаем нули, полюсы и коэффициент усиления

Результат:

z = 0

p = -2000

k = 1

Произведём построение диаграммы нулей и полюсов с использованием функции zplane(z,p).

Комментарии:

Синтаксис

[z,p,k] = tf2zp(b,a)

Описание

Функция tf2zp преобразует функцию передачи заданной системы в эквивалентное представление в виде наборов нулей, полюсов и коэффициента усиления (то есть в виде факторизованной функции передачи).

Файл-сценарий MatLab для построения диаграммы нулей и полюсов с использованием функции zplane(z,p):

b = [0.0005];

a = [0.0005    1];

[b,a] = eqtflength(b,a);

[z,p,k] = tf2zp(b,a)

zplane(z,p)

Рис. 1.  Диаграмма нулей и полюсов

3. Выполнение разложения передаточной функции на элементарные дроби с использованием функции residue().

Файл-сценарий MatLab для разложения передаточной функции на элементарные дроби и обратно с использованием функции residue():

b = [0.0005];

a = [0.0005    1];

[r,p,k] = residue(b,a)

[b2,a2] = residue(r,p,k)

Результат:

r =1

p =-2000

k =[]

b2 =1

a2 =   1        2000

Исходя из выходных аргументов функции residue() можем записать:

Комментарии:

Синтаксис:

              [r, p, k] = residue(b, a)

              [b, a] = residue(r, p, k)

Описание:

Функция p = [r, p, k] = residue(b, a) вычисляет вычеты, полюса и многочлен целой части отношения двух полиномов b(s) и a(s):

        простые корни:

-входные переменные - векторы b и a определяют коэффициенты полиномов числителя и знаменателя по убывающим степеням s;

-выходные переменные - вектор-столбец r вычетов, вектор-столбец p полюсов и вектор-строка k целой части дробно-рациональной функции;

4. Построение диаграммы Боде  и графиков АЧХ  и ФЧХ фильтра. Нахождение частоты  среза по уровню 3дБ и полосы пропускания фильтра.

Файл-сценарий MatLab для построение диаграммы Боде с использованием функции bode():

g = tf([0.0005],[0.0005 1]);

figure

bode(g),grid

Рис. 2. Диаграмма Боде

Файл-сценарий MatLab для построения графиков АЧХ  и ФЧХ фильтра с использованием функции freqs():

b = [0.0005];

a = [0.0005   1];

w = logspace(-5,5);

freqs(b,a,w)

Рис. 3. Графики АЧХ  и ФЧХ фильтра

«Точка излома» - 3дБ определяется простым выражением

и равна 0.3КГц. В схеме фильтра высоких частот конденсатор не пропускает ток при . Частота при которой входной сигнал меняет фазу на 45 градусов или амплитуда уменьшается в раз равна 1900рад/сек (302Гц) –это частота среза, она задает полосу пропускания фильтра 0 до 302Гц

5. Наблюдение за  изменением АЧХ, ФЧХ и полосы пропускания фильтра, при изменении значений параметров схемы.

Из графиков видно, что при увеличении ёмкости и сопротивления фильтра, полоса пропускания уменьшается, но падает  амплитуда выходного сигнала. При уменьшении номиналов, полоса пропускания увеличивается. Частотная характеристика остается неизменной.

6. Построение графиков переходной и импульсной   характеристик фильтра с использованием функций step() и impulse().

Файл-сценарий MatLab для построения графиков переходной и импульсной   характеристик фильтра с использованием функций step() и impulse():

b=[0.0005];

a=[0.0005 1];

dt=0.01;Tfinal=0.1;

t=0:dt:Tfinal;

figure

subplot(211),step(b,a,t),grid

subplot(212),impulse(b,a,t),grid

Рис. 4. Графики переходной и импульсной характеристик фильтра

Переходная характеристика – реакция системы на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных условиях, а импульсная характеристика – это реакция системы на дельта-функцию при нулевых начальных условиях. Переходная и весовая функции связаны через соотношение , так как дельта-функция может рассматриваться как производная от единичной ступенчатой функции.

7. Определение входного гармонического сигнал с частотой, входящей в полосу пропускания фильтра. Нахождение отклика системы на данный входной сигнал с использованием функции lsim(). Построение графиков входного и выходного сигналов.

Входной гармонический сигнал входящий в полосу пропускания

Тогда выходной сигнал будет

Файл-сценарий MatLab для построения графиков входного и выходного  сигнала:

a=[0.0005];

b=[0.0005   1];

t=linspace(0,5,501);

u=cos(1884*t);

lsim(a,b,u,t)

Рис. 5. Графики входного и выходного сигнала фильра

«отклик» системы будет определяться следующим образом

Таким образом при высоких частотах выходное напряжение приблизительно равно входному, а на низких частотах выходное напряжение уменьшается до нуля. Поэтому такой фильтр по понятным причинам называют фильтром высоких частот.

Вывод: В ходе лабораторной работы, был исследован простейший активный фильтр высоких частот. В отличии от простых RC-фильтров, активные фильтры из-за присутствия активного элемента- ОУ, обладают более плоским участком характеристики в полосе пропускания и более крутыми склонами. Исследованный ФВЧ имеет плоскую характеристику в полосе пропускания, но имеет плавный спад.