Информатика и выч. техника \ Теория и обработка сигналов

Изучение случайных сигналов и их характеристик. Вариант 2

Страницы работы

9 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина «Теория и обработка сигналов», 6 - й семестр

Отчет

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 11

«Случайные сигналы и их характеристики»

Факультет: АВТ

Группа: АТ-33

Вариант: 2

Студент: Швецов А. В. Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирск, 2006

Цель работы: изучение основных характеристик стационарных случайных сигналов (среднего значения, автокорреляционной функции, спектральной плотности мощности) и приобретение практических навыков их вычисления и анализа в среде Matlab.

Генерирование случайного сигнала с заданными параметрами.

randn() – функция Matlab, для генерации последовательности случайных величин, распределенных по нормальному закону распределения.

Matlab Function (mean_var.m)

%Функция генерирует последовательность случайных величин распределенных

%по нормальному закону, вычисляет среднее и дисперсию данной последовательности

%при помощи встроенных функций и математических формул, и строит график

%распределения данной последовательности, график плотности вероятности и

%гистограмму сигнала.

function [mat, disp, mean_matlab, var_matlab] = mean_var(N)

X=randn(1,N);

%вычисление среднего

sum=0;

for i=1:N,

sum=sum+X(i);

end

mat=sum/N;

%вычисление дисперсии

sum=0;

for i=1:N,

sum=sum + ((X(i)-mat)^2);

end

disp=sum/(N-1);

%вычисление среднего и дисперсии при помощи встроенных функций Matlab

mean_matlab=mean(X);

var_matlab=var(X);

%построение графика распределения

stem(X);

title('Распределение случайной величины по нормальному закону распределения ( N = 500)')

%построение гистограммы и

figure(2);

x=-4:0.1:4; % интервал для построения графика плотности вероятности

% нормальной случайной величины

f=(1/sqrt(2*pi*disp)).*exp(-1*power(x-mat,2)./(2*disp));

subplot(2,1,1)

plot(x,f)

title('График плотности вероятности')

subplot(2,1,2)

hist(X,20) % график гистограммы сигнала Х

title('Гистограмма сигнала')

>> [Mat, Disp, mean_matlab, var_matlab] = mean_var(500)

Mat =

-0.04080021564670

Disp =

1.06677298257495

mean_matlab =

-0.04080021564670

var_matlab =

1.06677298257495

Рис. 1. Распределение случайной величины по нормальному закону распределения (N = 500)

Комментарии:

График на Рис. 1. иллюстрирует распределение 500 значений случайной величины по нормальному закону распределения с = 0.

Дисперсия и среднее вычисленные по математическим формулам полностью совпадают с результатами функции mean() и var() (функции Matlab для вычисления среднего и дисперсии).

Построение графика распределения плотности вероятности нормальной случайной величины и гистограммы сигнала.

Плотность вероятности нормального распределения определяется следующим образом:

где - средне квадратичное отклонение случайного сигнала, , где D_X - дисперсия.

- математическое ожидание (среднее).

Иначе формулу плотности вероятности можно записать следующим образом:

Рис. 2. График плотности вероятности и гистограмма сигнала Х.

Комментарии:

Из графиков видно, что наиболее вероятным диапазоном значений распределения является интервал от -0,5 до +0,5, но в данной выборке отрицательных значений больше, что очень хорошо видно на гистограмме.

Аналитическое определение АКФ выходного сигнала.

Определим аналитически АКФ выходного сигнала для системы с уравнением:

Импульсная характеристика системы, как реакция на поданную на вход δ-функцию:

Выражение связи между АКФ выходного и входного сигналов ЛДС:

Свертка импульсных характеристик h[n] и h[-n]:

АКФ выходного сигнала:

Matlab Script (labwork11_2.m)

%Построение графика АКФ выходного сигнала

X=randn(1,500);

h=[1 4 6 4 1];

x=xcorr(X,'biased');

y=conv(h,x);

subplot(1,1,1)

stem(y)

title('АКФ выходного сигнала')

Рис. 3. График АКФ выходного сигнала.

Рис. 4. График АКФ выходного сигнала(увеличенный масштаб).

Комментарии:

Автокорреляционная функция – важная статистическая характеристика случайного процесса, она показывает то, как сильно связаны между собой значения сигнала, так как любой реальный процесс имеет конечную инерционность.

Построение графиков рассеивания.

Matlab Script (labwork11_3.m)

%Построение графиков рассеивания

X=randn(1,1000);

t=3:1000;

Y(t)=X(t)+2*X(t-1)+1*X(t-2);

i=1:900;

Y0(i)=Y(i);

Y1(i)=Y(i+1);

subplot(411)

plot(Y0,Y1,'.')

title('График рассеяния Yi,Yi+1')

Y2(i)=Y(i+2);

subplot(412)

plot(Y0,Y2,'.')

title('График рассеяния Yi,Yi+2')

Y3(i)=Y(i+3);

subplot(413)

plot(Y0,Y3,'.')

title('График рассеяния Yi,Yi+3')

Y4(i)=Y(i+4);

subplot(414)

plot(Y0,Y4,'.')

title('График рассеяния Yi,Yi+4')

Рис. 5. Графики рассеивания сигнала.

Комментарии:

Диаграммы рассеяния показывают степень коррелированности для различных случаев сигнала Y. На первом графике значения Y_i и Y_i₊₁ более коррелированны, исходя из этого, зная величину Y_i_, можно предсказывать среднее значение Y_i₊₁ . На последующих графиках видно, что степень коррелированности значений уменьшается.

Оценка автокорреляционной функции выходного сигнала. Взаимная корреляционная функция входного и выходного сигнала.

Matlab Script (labwork11_4.m)

%построение АКФ по пункту 3 и 5

%АКФ

X=randn(1,500);

h=[1 4 6 4 1];

x=xcorr(X,'biased');

Y1=conv(h,x);

figure(1);

subplot(2,1,1);

stem (Y1);

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('АКФ выходного cигнала (п.3)');

X=randn(1,500);

x=xcorr(X,'biased');

Y2=conv(h,x);

subplot(2,1,2);

stem (Y2);

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('АКФ выходного cигнала (п.5)');

%ВКФ

figure (2);

a=[1];

b=[2 -0.8 -0.5];

f=filter(b,a,X);

Y3=xcorr(f,X);

%построение графика выходного и входного сигнала для системы

stem(Y3/500);

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('ВКФ выходного и входного сигнала для системы');

Рис. 6. Графики АКФ выходного сигнала построенные по п.3 и п.5

Рис. 7. График взаимной корреляционной функции.

Комментарии:

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) - это функция корреляции между двумя случайными процессами X и Y.

Определение частотной характеристики фильтра и фильтрация случайного гауссовского сигнала.

MatlabScript (labwork11_5.m)(основан на Приложении 4 Лабораторной работы 11)

% Формирование частотной шкалы

% и построение частотной характеристики фильтра

Ts=0.01; T=10; % интервал отсчетов и длительность сигнала

df=1/T; Fmax=1/Ts;

f=0:df:Fmax/2; % частотная шкала

d1=length(f);

% Частотная характеристика фильтра

H=2./(1+0.8*exp(-j*2*pi*f*Ts)+0.5*exp(-j*4*pi*f*Ts));

figure(1)

subplot(3,1,1), plot(f,abs(H))

title(' АЧХ фильтра')

% Вычисление и построение спектра мощности входного шума

t=0:Ts:T;

X=randn(1, length(t)); % Генерирование входного шума

[Sxx, f1]=psd(X,d1, Fmax); % Вычисление спектра мощности входа

subplot(3,1,2), stem(f1,Sxx)

title(' Спектр мощности входа')

% Вычисление и построение спектра мощности выхода

i=2:length(X);

Y=zeros(1, length(X));

% Формирование выходного сигнала фильтра

b=2; a=[1 0.8 0.5];

Y=filter(b,a,X);

[Syy, f2]=psd(Y,d1,Fmax); % Спектр мощности выхода

subplot(3,1,3), stem(f2,Syy)

title(' Спектр мощности выхода')

xlabel(' Частота, Гц')

Рис. 8. График АЧХ фильтра, спектральной плотности мощности

входного и выходного сигналов.

Комментарии:

Спектральная мощность выходного сигнала вычисляется следующим образом:

где – спектральная плотность входного сигнала, а - частотная характеристика фильтра. Это соответствует результатам изображенным на графике, а именно: при малых частотах сигнала, происходит незначительное увеличение мощности сигнала на выходе, а при высоких частотах, происходит увеличение мощности в несколько раз, так как исходное уравнение фильтра, соответствует фильтру высоких частот.