Изучение случайных сигналов и их характеристик. Вариант 1

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 11

СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ  И  ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Группа:   АТ-33        

Вариант: 1                                                                                               Преподаватель:

Студент: Шадрина А.В.                                                                         доц. Щетинин Ю.И.

2006

Цель работы:     изучение основных характеристик стационарных случайных сигналов (среднего значения, автокорреляционной функции, спектральной плотности мощности)  и приобретение практических навыков  их вычисления и анализа в среде Matlab.

Выполнение работы:

1.  Генерирование случайного сигнала  с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией с помощью функции . Вычисление  оценок среднего и дисперсии случайного сигнала.

 - генерирование матрицы размером  из случайных чисел, распределённых по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией.

>> X = randn(1,500);

>> stem(X)

>> title('Случайный сигнал N=500')

>> xlabel('n, номер отсчёта'), grid

Рис.1. График случайного сигнала с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией

Оценки среднего и дисперсии сигнала по независимым наблюдениям  определяются как

,

.

Matlab function (estimate.m)

function [m,D] = estimate(X)

N = length(X);

sum1 = 0;

for i = 1:N

    sum1 = sum1+X(i);

end

m = sum1/N;

sum2 = 0;

for i = 1:N

    sum2 = sum2+(X(i)-m).^2;

end

D = sum2/(N-1);

>> [m,D] = estimate(X)

m =

-0.06294046047724

D =

   0.89628824900700

>> M = mean(X) %оценка среднего

M =

  -0.06294046047724

>> D = var(X)  %оценка дисперсии

D =

   0.89628824900700

Комментарий:         Главными характеристиками любого случайного процесса являются его законы распределения. Они являются наиболее полными. В данном пункте был сгенерирован случайный сигнал, распределенный по нормальному закону. Чаще всего на практике вместо закона распределения (функции распределения или плотности распределения) ограничиваются менее полными характеристиками – математическим ожиданием, дисперсией. Здесь - математическое ожидание равно нулю, а дисперсия - единице. Но! эти значения являются идеализированными, т.е. применимы только для сигналов бесконечной длительности. Здесь же - число отсчётов, для которых определяются значения случайного сигнала, конечно и равно 500. Вследствие данного опыта получается иная реализация случайного процесса, отличная от теоретической, поэтому значения среднего и дисперсии не совпадают с заданными. Среднее отличается от теоретического значения на 0,0629, а дисперсия – на 0,1037. Если увеличивать количество отсчётов случайного сигнала, т.е. устремлять , то эти характеристики будут отличаться от теоретических всё меньше и меньше.

2.  График плотности вероятности нормальной  случайной величины  из п.1 и  график гистограммы сигнала с помощью функции  с числом интервалов .

 - хранит элементы  в  равных интервалах и возвращает число элементов в каждом интервале.

>> x = -5:0.1:5;

>> f = 1/sqrt(2*pi*var(X))*exp(-(x-mean(X)).^2/2/var(X));

>> subplot(2,1,1)

>> plot(x,f)

>> title('График плотности вероятности нормальной случайной величины')

>> subplot(2,1,2)

>> hist(X,20)

>> title('График гистограммы нормального случайного сигнала')

Рис.2. Графики плотности вероятности и гистограммы нормальной случайной величины из п.1

Комментарий:         Плотность вероятности при нормальном  законе распределения описывается функцией   при . Плотность вероятности показывает – какова вероятность встретить определённое значение случайного сигнала. Из рис.2 видно, что наиболее вероятно появление значений близких к нулю, что соответствует значению среднего . Вероятность встретить эти значения около 0,42 или 42%. Если обратиться к рис.1, то можно заметить, что значения случайного сигнала большие 3-х отсутствуют, что подтверждается графиком плотности распределения, т.к. плотность распределения при значениях больше 3-х равна нулю. Площадь под кривой плотности вероятности равна единице, т.е.  (условие нормировки). Т.о. меняя пределы интегрирования можно узнать – какова вероятность попадания значения сигнала в определённый интервал. При большом объёме выборки её элементы объединяются в группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда (анализируется частота встречаемости значений сигнала из интервала). График гистограммы отражает суть вышесказанного. Здесь интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на 20 одинаковых интервалов и подсчитывается общее число значений случайного сигнала, попавших в этот интервал. Т.о. видно,  что больше всего значений случайного сигнала сосредоточено около нуля (55 слева и 54 справа), а меньше всего около 2-х (3 значения). Сумма всех значений гистограммы даёт длину выборки, т.е. 500.

3.  Автокорреляционная функция (АКФ) случайного дискретного сигнала. Определение АКФ выходного сигнала для системы с уравнением  при входном сигнале  в виде белого шума с АКФ. Определение той же функции с использованием процедуры ,  в качестве входа рассматривается случайный процесс из п.1. График .

Для случайного дискретного процесса автокорреляционная функция определяется выражением: . То есть АКФ вычисляется с использованием операции усреднения произведений значений случайного сигнала, отстоящих друг от друга на m отсчетов. АКФ определяет насколько сильна связь между отсчетами сигнала, разделенными друг от друга интервалом m. Любой реальный процесс имеет конечную память, поэтому для таких сигналов с увеличением интервала m между отсчетами степень связи должна ослабевать.

Выражение связи между АКФ выходного и входного сигналов  линейной дискретной системы: , где  - импульсная характеристика. В данном случае входной сигнал представляет собой белый шум с АКФ , при этом   - дисперсия шума, - единичный дельта-импульс.