Информатика и выч. техника \ Теория и обработка сигналов

Изучение случайных сигналов и их характеристик. Вариант 1, страница 2

Уравнение системы имеет вид

.

Импульсная характеристика системы (реакция дискретной системы на входной сигнал в виде единичного дельта-импульса при нулевых начальных условиях):

.

Выражение связи между АКФ выходного и входного сигналов данной ЛДС:

.

Свёртка  или , где  и

Т.о. .

АКФ выходного сигнала: . Если в качестве входного сигнала использовать сигнал из п.1, у которого дисперсия равна 0,8962, то т.о. АКФ выходного сигнала: .

Matlab script (labrab111.m)

h1 = [0.5 1 0.8];

h2 = [0.5 1 0.8];

y1 = conv(h1,h2)

Kx = var(X);

Ky = conv(y1,Kx)

stem(Ky)

title('АКФ выходного сигнала')

xlabel('n, отсчёт'), grid

>> y1 = 0.25               1                      1.80                 1.60                 0.64

Ky = 0.2241          0.8963             1.6133             1.4345             0.5736

Рис.3. Автокорреляционная функция выходного сигнала для дискретной системы  при входном сигнале в виде белого шума из п.1

Комментарий:         Входной сигнал системы является белым шумом. Для такого сигнала значения Xn и Xn+m  некоррелированны для любого , то есть не зависят друг от друга. АКФ входного сигнала имеет вид , т.е. входной сигнал определяется только данным моментом времени. Для выходного сигнала системы АКФ определяется сверткой вида . При этом посредством так называемого формирующего фильтра входной некоррелированный сигнал (белый шум) преобразуется в выходной коррелированный сигнал (окрашенный шум). С ростом m связь ослабевает, поэтому значения АКФ уменьшаются.

4.  Генерирование случайного сигнала  длительностью 1000 отсчетов, распределенного по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Вычисление выходного сигнал  для системы с уравнением  . Графики рассеяния для четырех случаев:

а.  (Yi, Yi+1),

б.  (Yi, Yi+2),

в.  (Yi, Yi+3),

г.  (Yi, Yi+4)   (i =1, 2… 900).

Степень коррелированности значений случайного сигнала .

Matlab script (labrab112.m)

N = 1000;

X = randn(1,N);

n = 1:1000;

num = [0.5 1 0.8];

den = [1];

Y(n) = filter(num,den,X);

i = 1:900;

Y0(i) = Y(i);

Y1(i) = Y(i+1);

Y2(i) = Y(i+2);

Y3(i) = Y(i+3);

Y4(i) = Y(i+4);

subplot(4,1,1), plot(Y0,Y1,'.'), title('График рассеяния Yi,Yi+1')

subplot(4,1,2), plot(Y0,Y2,'.'), title('График рассеяния Yi,Yi+2')

subplot(4,1,3), plot(Y0,Y3,'.'), title('График рассеяния Yi,Yi+3')

subplot(4,1,4), plot(Y0,Y4,'.'), title('График рассеяния Yi,Yi+4')

Рис.4. Графики рассеяния для случаев  (Yi, Yi+1), (Yi, Yi+2), (Yi, Yi+3), (Yi, Yi+4), где Yi – сигнал на выходе фильтра с уравнением  при входном сигнале в виде белого шума

Рис.5. Графики рассеяния для случая  (Yi, Yi)

Комментарий:         На рис.4 представлены графики рассеяния значений Yi+m относительно значений Yi, а на рис.5 представлен график рассеяния Yi относительно самого себя. Т.е. для коррелированных значений график рассеяния должен иметь вид прямой линии. Если обратиться к рис.4, то нетрудно заметить, что представленные графики далеки от линейного вида. С ростом увеличения интервала m отклонение от линейности всё более возрастает. На графике рассеяния Yi+1 относительно Yi ещё прослеживается некоторое подобие линейности, т.е. из всех представленных случаев Yi+1  будет сильнее остальных коррелирован с Yi, таким образом, зная значение Yi можно предугадать и среднее значение Yi+1. Иначе дело обстоит для Yi, Yi+4 – эти значения слабо коррелированны и здесь сложно давать оценку среднему значению Yi+4, полагаясь исключительно на значение Yi.

5.  Определение оценки автокорреляционной функции выходного сигнала при входном  сигнале из п.1 с использованием функции . Графики АКФ. Определение взаимной корреляционной функции выходного и входного сигналов фильтра.

 - возвращает нормализованный вектор АКФ сигнала в соответствии с .

Matlab script (labrab113.m)

m = -499:499;

n = -501:501;

Xc = xcorr(X,'biased');

delta = (m==0);

Kx = var(X)*delta;

h1 = [0.5 1 0.8];

h2 = [0.5 1 0.8];

y1 = conv(h1,h2);

Kyy1 = conv(Kx,y1);

Kyy2 = conv(Xc,y1);

subplot(2,1,1), stem(n,Kyy1), grid

title('АКФ выходного сигнала фильтра (аналитический расчёт)')

xlabel('n, отсчёт')

axis([-40 40 -0.5 2])

subplot(2,1,2), stem(n,Kyy2), grid

axis([-40 40 -0.5 2])

title('Смещённая оценка АКФ выходного сигнала фильтра')

xlabel('n, отсчёт')

Рис.6. Графики АКФ и смещённой оценки АКФ выходного сигнала фильтра с уравнением  при входном сигнале из п.1

Комментарий:         Различия в графиках наблюдаются по той причине, что в первом случае при аналитическом расчёте значение АКФ входного сигнала бралось для «идеального» белого шума, т.е.  - некоррелированный входной сигнал, где количество отсчётов этого случайного сигнала бесконечно, а во втором случае входным сигналом системы являлся белый шум, но определённый только для конечного числа отсчётов, вследствие конечной длины сигнала возникает погрешность (значения сигнала мало, но всё-таки, коррелированны между собой), которую можно наблюдать на рис.6. Если увеличивать число отсчётов, то второй график всё более будет приближаться к виду первого графика.

Matlab script (labrab114.m)

n = -499:499;

num = [0.5 1 0.8];

den = [1];

Y = filter(num,den,X);

K = xcorr(Y,X);

stem(n,K)

title('Взаимная корреляционная функция входного и выходного сигналов')

xlabel('n, отсчёт'), grid

Рис.7. Взаимная корреляционная функция входного сигнала из п.1 и сигнала на выходе фильтра с уравнением

Комментарий:         Часто требуется совместно рассматривать несколько случайных сигналов. К таким задачам относится исследование входного и выходного сигналов системы. Характеристикой связи двух случайных сигналов X(t) и Y(t) является их взаимная корреляционная функция . Из графика, представленного на рис.7 видно, что выходной сигнал системы очень сильно зависит от значений входного сигнала, определённых в данный момент времени - ноль, в предыдущий – единица и идущий пред предыдущим – двойка.  При чём сильнее всего зависит от значения, определённого в предыдущий момент времени  и менее всего – в данный момент времени. Очень слабая зависимость идёт в остальные моменты времени, хотя если обратиться к уравнению фильтра , то в идеале график ВКФ должен представлять из себя три единичных импульса в моменты времени 0, 1 и 2, но т.к. здесь  опять же входной сигнал является выборкой конечной длины, то соответственно появляется погрешность.

Скачать файл