Изучение преобразования Фурье и его свойств. Вариант 2

     Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»,     5 - й семестр

Отчет

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ  РАБОТЕ  № 3

«СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ»

Факультет: АВТ

Группа: АТ-33

Вариант: 2

Студент: Швецов А. В.                  Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирск, 2005

Цель работы:Изучение преобразования Фурье и его свойств, понятий амплитудного и фазового спектров непрерывных во времени сигналов, приобретение практических навыков вычисления преобразования Фурье и построения графиков спектров в среде Matlab.

2.  Формирование четырех четных  последовательностей прямоугольных периодических импульсов единичной амплитуды с различным периодом при помощи функции pulstran(…) пакета Matlab

     а)  период Т = 4 с, длительность импульса  τ = 2 с,

     б) период Т = 8 с, длительность импульса   τ = 2 с,

     в) период Т = 16 с, длительность импульса τ = 2 с,

     г) период Т = 32 с, длительность импульса  τ = 2 с.

Листинг M-файла p2.m

%Script-file для формирования 4-х последовательностей прямоугольных

%импульсов с различным периодом

t = 0 : 0.01 : 50;

D = 0 : 4: 50;

Y = pulstran(t,D,'rectpuls',2);

subplot(411)

axis([0, 50, -0.5, 1.5])

plot(t,Y)

D1 = 0 : 8: 50;   

Y1 = pulstran(t,D1,'rectpuls',2);

subplot(412)

axis([0,50, -0.5, 1.5])

plot(t,Y1)

D2 = 0 : 16: 50;

Y2 = pulstran(t,D2,'rectpuls',2);

subplot(413)

axis([0,50, -0.5, 1.5])

plot(t,Y2)

D3 = 0 : 32: 50;

Y3 = pulstran(t,D3,'rectpuls',2);

subplot(414)

axis([0,50, -0.5, 1.5])

plot(t,Y3)

Результат работы Script-файла – 4 графика прямоугольного периодического сигнала с различными периодами.

Рис.1 Последовательность прямоугольных периодических импульсов

Комментарии:

Из графиков видно, что при постоянной длительности импульсов, при увеличении их периодов - на одном и том же интервале времени количество импульсов  уменьшается.

3.  Определение коэффициентов ряда Фурье (используя функцию sinc(x) Matlab) и  построение в одном графическом окне графиков зависимостей амплитудных спектров сигналов (п.2).

Коэффициенты ряда Фурье для четного прямоугольного периодического сигнала аналитически вычисляются следующим образом:

sinc

(По материалу лекции №5) T₁ = τ / 2 = 1 (т.к. сигнал четный)

Листинг М-файла p3.m

%Script-фаил для построения амплитудных спектров прямоугольных илпульсов с

%разными периодами

k=-20:1:20;

T=4

cn=2/T.*sinc(2*k./T);

subplot(411)

stem(k,abs(cn))

T=8

cn=2/T.*sinc(2*k./T);

subplot(412)

stem(k,abs(cn))

T=16

cn=2/T.*sinc(2*k./T);

subplot(413)

stem(k,abs(cn))

T=32

cn=2/T.*sinc(2*k./T);

subplot(414)

stem(k,abs(cn))

Результат работы Script-файла – 4 графика амплитудных спектров прямоугольного периодического сигнала с различными периодами.

Рис.2 Амплитудные спектры прямоугольных

периодических импульсов с различными периодами.

Комментарии:

С увеличением периода T,  спектр становится более “частым”. Для непериодического сигнала частотный интервал ∆ω=2π/T→0 при T→∞.

4.  Аналитическое определение прямого преобразования Фурье для одностороннего экспоненциального сигнала, построение графиков амплитудного и фазового спектров сигнала.

Прямое преобразование Фурье для одностороннего экспоненциального сигнал:

Для построения графиков сигнала, его амплитудного и фазового спектров, использовался Script-файл (M-файл p4.m)

Листинг М-файла p4.m

% Построение графиков спектров треугольного сигнала

T=5; dt=0.01; % задание интервала времени

t=0:dt:T;

K=10;

a=2;

s=K*exp(-a*t); % определение сигнала

df=1/T/10; Fmax=1/dt/20; f=-Fmax:df:Fmax; % задание частотной шкалы

S=K./(a+j*f); % выражение комплексного спектра

% построение графиков сигнала и спектров

subplot(311), plot(t,s), title('Cигнал')

subplot(312), plot(f,abs(S)), title('Амплитудный спектр')

subplot(313), plot(f,angle(S)), title('Фазовый спектр')

Рис.3 Графики одностороннего экспоненциального сигнала,

 его  амплитудного и фазового спектров

5.  Функция (.m - файл) для вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с синтаксисом

                                                     

Листинг файл-функции dftsum.m

function X=dftsum(x)    % определение функции dftsum(x)

N=length(x);            % вычисление количества точек, для  исходного сигнала  x

for H=1:N               % задание массива выходных значений функции

X(H)=0;                 % обнуление массива

end

for n=0:N-1

    for k=0:N-1

       R(k+1)=x(k+1).*exp(-2*j*pi.*n.*k./N);        % формула для вычисления ДПФ

    end

    X(n+1)=sum(R);

end

6.  Вычисление с помощью функции dftsum(x)  ДПФ одностороннего экспоненциального сигнала, и построение графиков его амплитудного и фазового спектров.

Листинг Script-файла p6.m

%Вычисление спектра и построение его графиков

%для одностороннего экспоненциального сигнал

T=5; dt=0.1;            %Определение интервала времени

t=0:dt:T;

df=1/2/T; Fmax=1/dt;    %Определение частотной шкалы

f=-Fmax/4:df:Fmax/4;

K=10;

a=2;

s=K*exp(-a*t);          %Задание сигнала

y1=dftsum(s); y1p=fftshift(y1);     %вычисление и сдвиг ДПФ

% Построение графиков сигнала и его спектров

figure(1), subplot(311), plot(t,s)

subplot(312), plot(f,abs(y1p)),title('Амлитудный спектр')