Изучение понятия спектра периодического сигнала. Вариант 2

Цель работы:изучить понятия спектра  периодического сигнала, приобрести практические навыки вычисления и построения  графиков спектров   сигналов в  среде MATLAB.

Задание 1.

Познакомиться с разложением в ряд Фурье периодических непрерывных сигналов и понятиями амплитудного и фазового спектров сигнала.

Задание 2.

            Получить аналитически коэффициенты разложения в комплексный ряд Фурье для сигнала. Построить график амплитудного спектра  сигнала.

Ряд  Фурье       

Характеристики сигнала:

Период Т = 20, частота основной гармоники    

Коэффициенты комплексного ряда Фурье:

Ряд Фурье в комплексной форме выглядит так:

Задание 3.

            Написать и выполнить файл-сценарий, позволяющий построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала.

n1=1:15;

cn=-1/j./n1/pi.*(cos(n1*pi)-1); // реализация расчета коэффициента Фурье

n2=-15:-1;

c_n=-1/j./n2/pi.*(cos(n2*pi)-1); //на разных интервалах

Cn=[c_n 0 cn];

n3=[n2 0 n1];

n=-15:15;

figure(1);

subplot(2,1,1);

stem(n,abs(Cn)); //построение графика амплитудного спектра сигнала

title('амплитудный спектр сигнала');

xlabel('количество гармоник');

subplot(2,1,2);

stem(n,angle(Cn)); //построение графика фазового спектра сигнала

title('фазовый спектр сигнала');

xlabel('число гармоник');

Задание 4.

Определить спектр Фурье сигнала с помощью функции fft(). Определить коэффициенты ряда Фурье для сигнала, заданного в п.2,  с помощью fft(), построить графики амплитудного спектра.

T=20;                                                                         // период сигнала

t=0:T/50:T;                                                               // временной интервал

x=1*rectpuls(t-5,10)-1*rectpuls(t-15,10);             // генерирование сигнала

figure(1);

subplot(311), plot(t,x)                                              // график сигнала

grid

title(' График сигнала')

k=0:50;

m=1:50

% коэффициенты ряда Фурье

C=1./j./m/pi.*(cos(pi*m)-1);                        // график амплитудного спектра

C1=[0 abs(C)];

subplot(312),

stem(2*pi*k/T, C1);

title(' Амплитудный спектр сигнала')

y=fft(x,51);                                                      //Дискретное преобразование Фурье сигнала

subplot(313), stem(2*pi*k/T, abs(y)/51)

xlabel(' Угловая частота,  рад/сек')

title(' Амплитудный спектр сигнала по процедуре fft')

По данным графикам видно, что амплитудный спектр сигнала, построенный через процедуру расчета выведенных коэффициентов Cn  и функции abs(Cn) , идентичен графику амплитудного спектра сигнала, построенного через процедуру fft() .

Задание 5.

Составить и выполнить файл-сценарий для исследования сходимости ряда Фурье к исходному периодическому. Пронаблюдать сходимость  ряда  для четырех значений числа членов ряда и явление Гиббса.

T=20;                                                            // период сигнала

w0 = 2*pi/T;                                                 // циклическая частота

t = -2*T:T/1000:2*T;

N = input('Введите число членов ряда:');

c0 = 0;

x = c0*ones(1,length(t));

for n=1:N,

cn =     -1/j./n/pi.*(cos(n*pi)-1);               //коэффициенты ряда Фурье

c_n = conj(cn);

x = x +  cn*exp(j*n*w0*t) + c_n*exp(-j*n*w0*t);

end

figure(2);

plot(t,x);

grid

title(['Число членов ряда, N = ',num2str(N)])

                             Явление Гиббса (увеличенный масштаб):

Из графиков видно, что ряд Фурье созданный на основе выведенных в п.2. коэффициентов приводит к исходному периодическому сигналу.