Изучение основных характеристик стационарных случайных сигналов (среднего значения, автокорреляционной функции, спектральной плотности мощности), страница 2

Используя выражение связи между АКФ выходного и входного сигналов  линейной дискретной системы     ,  где  h[m]- импульсная характеристика, определим аналитически АКФ выходного сигнала для системы с уравнением:

при входном сигнале  в виде белого шума с АКФ  ,  при этом   - дисперсия (мощность) шума,   - единичный дельта-импульс.

Найдем импульсную характеристику системы:

Запишем выражение связи между АКФ выходного и входного сигналов ЛДС:

Вычислим свертку импульсных характеристик h[n] и h[-n]:

АКФ для выходного сигнала:

Найдем АКФ выходного сигнала,  используя процедуру conv() Matlab,  в качестве входа будем использовать случайный процесс X из п.1. Построим график .

n=-2:2;

h1=[5 2 -1];

h2=[-1 2 5];

y1=conv(h1,h2)

stem(y1)

>>

y1 =

    -5     8    30     8    -5

Рис. 3. График АКФ выходного сигнала.

4.Генерация случайного сигнала X  длительностью 1000 отсчетов, распределенного по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Вычисление выходного сигнала Y, используя уравнение системы по индивидуальному заданию. Построение на одной фигуре 4 графиков рассеяния с помощью функции plot(X, Y, ‘.’) для четырех случаев:
а)  (Yi, Yi+1),   б)  (Yi, Yi+2),  в)  (Yi, Yi+3),   г)  (Yi, Yi+4)   (i =1,2,…,900).

а)

X=randn(1,1000);

n=3:1000;

Y(n)=5*X(n)+2*X(n-1)-X(n-2);

i=1:900;

Y0(i)=Y(i);

Y1(i)=Y(i+1);

subplot(411)

plot(Y0,Y1,'.')

title('Graph of the diffusing Yi,Yi+1')

б)

Y2(i)=Y(i);

Y3(i)=Y(i+2);

subplot(412)

plot(Y2,Y3,'.')

title('Graph of the diffusing Yi,Yi+2')

в)

Y4(i)=Y(i);

Y5(i)=Y(i+3);

subplot(413)

plot(Y4,Y5,'.')

title('Graph of the diffusing Yi,Yi+3')

г)

Y6(i)=Y(i);

Y7(i)=Y(i+4);

subplot(414)

plot(Y6,Y7,'.')

title('Graph of the diffusing Yi,Yi+4')

Рис. 4. Графики рассеяния для случаев

а)  (Yi, Yi+1),   б)  (Yi, Yi+2),  в)  (Yi, Yi+3),   г)  (Yi, Yi+4)

Выводы: при этом АКФ для СШС процессов не изменяется с изменением временного аргумента n, а зависит только от расстояния (сдвига) m. АКФ определяет,  как сильна связь между отсчетами сигнала, разделенными друг от друга интервалом m. Для реальных случайных сигналов с увеличением интервала m между отсчетами степень связи должна ослабевать в связи с уменьшением влияния инерционности  реального процесса. Поэтому и рассеяние на последнем графике наиболее заметное, так как степень связи между отсчетами сигнала наиболее слабая. 

На первом графике значения YiиYi+1 сильно коррелированны, поэтому, зная значение Yi ,можно предсказывать среднее значение  Yi+1 . Чем больше τ, тем меньше становится степень коррелированности значений, и, следовательно, прогнозировать значения Yi становится гораздо сложнее.

5.Определение оценки автокорреляционной функции выходного сигнала при входном  сигнале из п. 1., используя функцию xcorr()  с параметром ‘biased (смещенная оценка). Построение на одной фигуре графиков АКФ, полученных  в п. 2 и в п. 5. С помощью этой же функции определение и построение графиков взаимной корреляционной функции выходного и входного сигналов фильтра.

X=randn(1,500);

h=[25 20 -6 -4 1];

x=xcorr(X,'biased');

y=conv(h,x);

subplot(2,1,1)

plot(y)

title('Correlation function')

axis([0,1000,-10,50])

f=xcorr(X,'biased');

subplot(2,1,2)

plot(f)

axis([0,1000,-0.5,1.5])

Рис. 5. Графики АКФ выходного сигнала из пункта 3 и пункта 5 соответственно.

X=randn(1,500);

num=[0.8 1 0.4];

den=[1];

f=filter(num,den,X);

z=xcorr(f,X);

plot(z)

title('ВКФ выходного и входного cигнала для системы')

Рис. 6. Взаимная корреляционная функция входного и выходного сигналов.

Если АКФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то взаимная корреляционная функция позволяет определить аналогичную величину для сдвинутых экземпляров двух разных сигналов, являясь, таким образом, характеристикой связи двух случайных сигналов.

ВКФ определяется выражением:

6. Генерация случайного гауссовского сигнала с  нулевым средним значением и дисперсией, равной 1, длительностью 1000 отсчетов.  Определение частотой характеристики фильтра. Гауссовский сигнал рассматривается как входной сигнал фильтра. Построение на одной фигуре графиков АЧХ фильтра, спектральной плотности мощности входного и выходного сигналов.

>> sig=random('norm',0,1,1,1000);

>> plot(sig)

Рис. 7. Гауссовский случайный сигнал с  нулевым средним значением и

дисперсией, равной 1, длительностью 1000 отсчетов.

Определение частотной характеристики фильтра:


% Формирование частотной шкалы

% и построение частотной характеристики фильтра

Ts=0.01; T=10;  % интервал отсчетов и длительность сигнала

df=1/T; Fmax=1/Ts;

f=0:df:Fmax/2;  % частотная шкала

d1=length(f);

% Частотная характеристика фильтра

H=2./(1+0.9*exp(-j*2*pi*f*Ts)+0.6*exp(-j*4*pi*f*Ts));

X=randn(1,500);

num=[3 -0.9 -0.6];

den=[1];

figure(1)

subplot(3,1,1), plot(f,abs(H))

title('Magnitude response')

% Вычисление и построение спектра мощности входного шума

t=0:Ts:T;

X=random('norm',0,1,1,1000);  % Генерирование входного шума

[Sxx, f1]=psd(X,d1, Fmax); % Вычисление спектра мощности входа

subplot(3,1,2), stem(f1,Sxx), axis([0,50,0,30])

title('Spectrum to powers of the input signal')

% Вычисление и построение спектра мощности выхода

i=3:length(X);

Y=zeros(1, length(X));

% Формирование выходного сигнала фильтра

num=[3];

den=[1 0.9 0.6];

Y=filter(num,den,X);

 [Syy, f2]=psd(Y,d1,Fmax); % Спектр мощности выхода

subplot(3,1,3), stem(f2,Syy), axis([0,50,0,1100])

title('Spectrum to powers of the output signal')

xlabel(' Frequency,  Hz')

Рис. 8. АЧХ фильтра, спектр мощности входящего сигнала, спектр

 мощности сигнала на выходе фильтра.

Вывод:

          Мощность выходного сигнала в полосе пропускания зависит от коэффициента передачи фильтра. Мощность пропорциональна квадрату коэффициента передачи фильтра. Если уменьшить коэффициент передачи, то естественно, что, мощность выходного сигнала станет меньше, что и видно из представленных графиков.

          Из графика видно, что после прохождения через фильтр мощность сигнала в полосе задерживания уменьшилась, а в полосе пропускания увеличилась.