Электротехника \ Радиотехнические цепи и сигналы

Исследование преобразований аддитивной смеси сигнала и шума в типовых каскадах радиоканала. Вариант 3, страница 2

-(ω-ω_о)² -(ω+ω_о)²

= (S²(ω) + W₀ )*(½)*K²_пч{е Δω² + е Δω² }; (3.7)

Рис.6. Энергетический спектр суммарного процесса на выходе УПЧ.

3.2. Корреляционные функции на выходе УПЧ.

А) Для сигнала, по теореме Винера-Хинчина:

, c учетом (3.5) получаем:

K₁(τ) = K²_пчU_m²cos (ω₀τ)/4;

нормированная корреляционная функция:

; (3.8)

Средняя мощность сигнала на выходе УПЧ:

P_ср₁ = K₁(0) = 0.018 Вт ;

Рис.7. Нормированная АКФ сигнала на выходе УПЧ.

Б) Корреляционная функция шума на выходе УПЧ.

Используя преобразование Винера-Хинчина, для шума получим из (3.6):

;

; (3.9)

нормированная АКФ шума на выходе УПЧ:

; (3.10)

Дисперсия шума на выходе УПЧ: σ_x₁²= R_ξ₁(0) = 5.078*10^-6 Вт ;

её график приведен на рис.8.

Рис.8. Нормированая АКФ шума на выходе УПЧ.

В) Суммарная АКФ на выходе УПЧ.

Используя принцип суперпозиции, справедливый для УПЧ с учетом (3.9) можно записать :

;

Нормированная АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ имеет вид:

; (3.11)

Рис.9. Нормированная АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ.

выражение для огибающей АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ:

N₁(τ) = ;

нормированная огибающая АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ:

n₁(τ) = ; (3.12)

график нормированной огибающей АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ приведен на рис.10.

Рис.10. Нормированная огибающая АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ.

3.3Значение времени корреляции и ширины энергетического спектра процесса на выходе УПЧ.

А) интервал корреляции.

Интервал корреляции определим по первому переходу АКФ через ось абсцисс

( рис.9. ):

τ_к₁ = 6.8*10^-3 с.

Б) Эффективная ширина спектра .

Ширину энергетического спектра суммарного процесса на выходе УПЧ определим по снижению значений в 1,4 раза от максимального:

Δω_эф₁= 4 рад/с, Δf_эф= Δω_эф/2π=0.64 Гц;

3.4. Отношение несущая/шум на выходе УПЧ.

По мощности:

q₁ = P_ср₁/σ_x₁² = 0.018/5.078*10^-6= 3.54*10³; (3.13)

– по амплитуде:

a₁= √2q₁= 59.50 .

–амплитуда несущей на выходе УПЧ:

U_m1 = U_m*К_пч = 0.6 В.

4. Анализ прохождения процесса через ЧД.

1. Каждая из реализаций случайного узкополосного процесса имеет вид почти гармонического колебания и может быть записана в виде (1.1) :

где А(t) огибающая, -фаза, -частота, случайные функции. Представим колебание x(t) через квадратичные составляющие:

где ;

;

А) Закон распределения мгновенной частоты шума на выходе частотного детектора определяется распределением производной фазы :

, (4.1)

величину Δω_эк можно определить из уравнения:

, (4.2)

где -огибающая нормированной корреляционной функции r_ξ₁(τ) шума, обладающего спектром , с учетом (3.10): ;

Далее определяем вторую производную в левой части уравнения (4.2):

;

получим:

;

= 3.536 рад/с;

Теперь из (4.1) находим распределение производной фазы и закон распределения частоты шума на выходе ЧД:

; (4.3)

Рис.11. Закон распределения производной фазы на выходе ЧД.

Б) Энергетический спектр шума на выходе ЧД.

В случае, когда U_m²/σ_x₂²>> 1, выражение для фазы можно упростить:

ξ(t) ≈ arctg[A(t)*Sin/A_s(t)] ≈ A(t)*Sin/A_s(t); (4.4)

Функция A(t)*Sin обладает нормальным законом распределения и энергетическим спектром 2W_ξ₁(ω₀ + W) [ 2, §11.6 ]. Таким образом, энергетический спектр фазы процесса на выходе ЧД:

W_q(W) = 2W_ξ₁(ω₀ + W)/U_m1² ;

Энергетический спектр производной θ´(t) можно найти, используя правило дифференцирования сигнала [ 2, §.7 ]:

, таким образом:

W_q´(W) = W²W_q(W) = 2W²W_ξ₁(ω₀ + W)/U_m₁²;

т.к.X_x₂(t) = S_чд θ´(t), а также обращаясь к (3.6) можем записать:

W_ξ₂(W) = S_чд²W_q´(W) = 2S_чд²W²W_ξ₁(ω₀ + W)/U_m²= S_чд²W₀K²_пчW²exp[-(W/Δω)²];(4.5)

Учитывая то, что после прохождения детектора сигнал проходит через усилитель и фильтр нижних частот (УНЧ), выберем S_чд равным 0,05 (В*с)/рад, чтобы на выходе УНЧ амплитуда сигнала аходилась в рабочем диапазоне.