Исследование преобразований аддитивной смеси сигнала и шума в типовых каскадах радиоканала. Вариант 2

1.  Исходные данные.

         1.1  Функциональная схема радиоканала

Вход                                                                              Выход

                                   Рис. 1

1 - усилительПЧ;

2 - фильтрПЧ;

3 - амплитудный квадратичный детектор;

4 - усилительНЧ;

5 - фильтрНЧ.

         1.2  На  входе  устройства  действует  аддитивная  смесь  гармонического  сигнала  и   белого  Гауссового  шума  с  энергетическим спектром  W₀.

                             x(t)=u_m·cos(ω₀t+φ₀)+ξ(t)                                              (1.1)                                       

                             u_m=40  мкВ                                                                  (1.2)

                             W₀=0,009 мкВ²/(рад/с)                                                (1.3)

         1.3  Амплитудно-частотная   характеристика  усилителяПЧ с фильтром

                             |K(jω)|²=((K_пч²·Δω²)/2)·[(1/(Δω²+(ω-ω₀)²))+

                              +(1/(Δω²+(ω+ω₀)²))]                                                   (1.4)

                              Δω=6 рад/с;                                                                (1.5)

                              K_пч=1·10⁴;                                                                   (1.6)

                              ω₀=100·Δω=100·6=600 рад/с                                     (1.7)

         1.4  Амплитудно-частотнаяхарактеристика   усилителя НЧ с фильтром

                             |K(jΩ)|²=(K_нч²·ΔΩ²)/( ΔΩ²+ΔΩ²)                                (1.8)

                            ΔΩ=3 рад/с                                                                   (1.9)

                            K_нч=30                                                                           (1.10)

2. Расчёт характеристик сигнала на выходе усилителя ПЧ с фильтром.

         2.1  На выходе ПЧ суммарный сигнал является аддитивной смесью гармонического полезного сигнала и узкополосного гауссового шума [1,2].

                            u(t)=s(t)+x(t)=u_m1·cosω₀t+А(t) cos(ω₀t+φ(t))               (2.1)

         2.2 Статистические параметры сигнала послеПЧ определяем спектральным методом. Так как тракт ПЧ линейный, то прохождение полезного сигнала и шума через него рассматриваем независимо.

         2.3  Амплитуда гармонического сигналана выходе ПЧ

                            u_m1= K_пч·u_m,  мВ                                                           (2.2)

                            u_m1= 1·10⁴·40=4·10⁵ мкВ=400  мВ

        2.4  Энергетический спектр шума на выходеПЧ

                             W₁=W₀|K(jω)|²=((W₀·K_пч²·Δω²)/2))·[(1/(Δω²+(ω-ω₀)²))+

                             +(1/(Δω²+(ω+ω₀)²))+]                                                  (2.3)

                             (W₀·K_пч²·Δω²)/2, мВ²/(рад/с)                                      (2.4)

                            (0.009·(10⁴ )²·6²)/2=1.62·10⁷ мкВ²/(рад/с)=16,2 мВ²/(рад/с)

         2.5  Корреляционную функцию шума находим по теореме Винера-Хинчина

                             К_х1(τ)=1/2π∫W₁(ω)℮^ίωτdω                                             (2.5)

                             К_х1(τ)= (W₀·K_пч²·Δω²)/4π∫[(1/(Δω²+(ω-ω₀)²))+

                             +(1/(Δω²+(ω+ω₀)²))+] ℮^ίωτdω                                       (2.6)

         2.6  Для вычисления интеграла делаем подстановку:

 ω-ω₀=х;   ω=х+ω₀ - в первом слагаемом;

 ω+ω₀=х;   ω=х-ω₀   - во втором слагаемом;

                             ∫[(1/(Δω²+(ω-ω₀)²))+(1/(Δω²+(ω+ω₀)²))+] ℮^ίωτdω=

                             = ∫(℮^ί(х+ω0)τ )/(Δω²+х²)dω+∫(℮^ί(х-ω0)τ )/(Δω²+х²)dω=

                             (℮^ίω0τ+℮^-ίω0τ) ∫(℮ ^ίω0τ/(Δω²+х²))dω=

                              =2cos(ω₀τ)∫(cos(ωτ)+jsin(ωτ))/(Δω²+х²)dω=

                             =2cos(ω₀τ)∫(cos(ωτ))/(Δω²+х²)dω                                (2.7)

         2.7  По таблице интегралов

                             ∫(cos(ωτ))/(Δω²+х²)dω=(π/Δω)℮^-Δω|τ|                            (2.8)

         Получаем выражение для корреляционной функции шумовой составляющей сигнала

                             К_х1(τ)=((W₀·K_пч²·Δω)/2)cos(ω₀τ) ℮^-Δω|τ|                       (2.9)

         2.8  Подставляем числовые значения

                             К_х1=2.7·℮^-6|τ| cos(600τ),  мВ²                                       (2.10)

         2.9   Нормированная корреляционная функция шума

                             R_x1=℮^-6|τ| cos(600τ)                                                      (2.11)

        2.10  Графики  энергетического  спектра  сигнала  на  выходе  ПЧ  и нормированной  корреляционная  функция  шума  приведены  на      рис.2 и 3.

         2.11  Функция корреляции суммарного процесса на выходе  ПЧ

                            К₁=К_с1(τ)+К_х1(τ)=0,5u_m1²·cos(ω₀τ)+σ₁²R_x1(τ)             (2.12)

где  дисперсия  шума  и  среднеквадратичное  напряжение  шума  на выходе  ПЧ  равно

                            σ_х1²= К_х1(0)=2,7 мВ²                                                   (2.13)

                            u_х1 =√σ_х1²=√2,7=1,64  мВ                                           (2.14)

         2.12  Находим  отношение  сигнал/шум  на  выходе  ПЧ

                            а₁=u_m1 / u_х1                                                                   (2.15)         

                            а₁=400/1,64=244

         2.13  Время корреляции для шумовой составляющей процесса определяем но огибающей корреляционной функции на уровне 0,5 от высоты

                            ℮^-6|τ| =0,5                                                                      (2.16)

                            -6τ=ln(0,5)=-ln(2)                                                        (2.17)

                            τ_x1=ln(2)/6,  c                                                               (2.18)

                            τ_x1=0,12 c

         2.14  Ширина  энергетического  спектра  шума  на  выходе ПЧ определяется  полушириной  полосы  пропуска­ния  фильтра  ПЧ

                            Δω² /(Δω²+(ω-ω₀)²))=0,5                                             (2.19)