Принцип максимума. Основные уравнения и их применение для синтеза оптимальных систем

Лекция № 10

ПРИНЦИП МАКСИМУМА

В ряде практических задач оптимизации объектов управления экстремум функционала (3.91) при заданных уравнениях объекта (3.92) обеспечивается при управлении u(t), имеющем разрывы первого рода. При этом координаты  также имеют разрывы, положение и число которых заранее неизвестны. Эти обстоятельства затрудняют применение классического вариационного исчисления для некоторых задач оптимизации, которые могут быть решены методом, разработанным акад. Л.С.Понтрягин  и названным принципом, максимума.

Задачай оптимизации является определение оптимальных управлений u°(t) и траектории Х°(t) из условия минимума функционала (3.91) для заданных уравнений объекта (3.92) при начальных X(t₀) и конечных X(t_к) значениях, заданном интервале времени t₀ £ t £ t_к с учетом ограничений вида X(t) Î W_x, u(t) Î W_u .

Функции управления u(t) допускают разрывы первого рода (см. кривую 1 на рис. 3.6). Так как координаты выхода x_i(t) не являются гладкими, то канонические уравнения (3.78) и (3.80) при введенных множителях Лагранжа (3.76) и функции Гамильтона (3.77) не могут быть непосредственно применены для определения оптимальных управлений. Объясняется это тем, что из-за разрывов первого рода вариация функции u(t) может быть большой, следовательно, большой будет и вариация функционала. В результате этого в выражении (3.56) уже нельзя ограничиваться только линейными относительно вариаций функций du(t) и dх(t) членами, а следует учитывать также нелинейные члены. В связи с этим было введено понятие игольчатой вариации [12].

Игольчатая вариация представляет собой приращение варьируемой функции оптимального управления u°(t) на бесконечно малом отрезке времени e в виде импульса ограниченной величины (см. кривую 4 на рис. 3.6) с учетом u(t) Î Wu. Влияние такой вариации на последующее движение объекта управления в интервале t < t < t_к бесконечно мало, поскольку влияние любого импульса оценивается величиной его площади (u – u°) е, которая в данном случае бесконечно мала. Следовательно, приращение функционала при игольчатой вариации управления будет бесконечно малым. Оно обращается в нуль, т. е. выполняется условие экстремума (3.58) функционала (3.54), когда игольчатая вариация производится относительно оптимального управления u°(t).

Основные уравнения и их применение для синтеза оптимальных систем. Рассмотрим кратко сущность принципа максимума. Пусть математическая модель объекта оптимизации задана в виде уравнений состояния

,                                (3.113)

где i = 1, 2, ..., n; r – количество координат управления. Уравнение (3.113) можно представить в векторной форме

.                                (3.114)

Сигналы управления могут иметь ограничения для всех координат

.

Зададимся некоторой функцией f₀(Х, u) и будем считать, что цель управления объектом будет достигнута, если изображающая точка из начального положения Х₀ с координатами (х₁₀, х₂₀, ..., х_n0) в n-мерном фазовом пространстве переместится в положение Х₁ с координатами (x₁₁, x₂₁, …, x_n1).

При оптимизации объекта требуется найти вектор управляющего воздействия u(t) с учетом указанных ограничений из условия минимума функционала

.                          (3.115)

Сначала рассмотрим задачу при одной координате управления (r=1) в пространстве (n+1) координат, введя дополнительную переменную х₀, определяемую уравнением

.                                         (3.116)

При этом для вывода принципа максимума используем игольчатую вариацию.

Если управляющему воздействию u°(t) соответствует оптимальное движение объекта Х°(t), то после игольчатой вариации дальнейшее движение X(t) будет отличаться от оптимального. Разность между ними в момент t=t , определяется разностью скоростей

.          (3.117)

Эта разность бесконечно мала, так как e – бесконечно малая величина. Поэтому для интервала t £ t £ T введем вектор вариации траектории

.

Закон изменения вариации, являющейся бесконечно малой величиной, может быть найден из уравнений, записанных для малых изменений X(t), которые называют уравнениями в вариациях. Эти уравнения можно получить из (3.113) или (3.114), если заменить x_i на x_i + dх_i а затем после разложения f_i в ряд по степеням dx_i отбросить члены высших порядков малости. Далее вычтем уравнение вида (3.113) и получим линейное уравнение в вариациях

,                          (3.118)

где  j = 0, 1, 2..., n.

Вектор вариаций dX при t = Т характеризует изменение критерия оптимальности dJ. Для любых неоптимальных управлений u(t) эта величина определяется скалярным произведением вектора вариаций dX(T) и вспомогательного вектора y(Т) и является отрицательной:

.                                (3.119)

Уравнение (3.119) позволяет найти dX(T) в зависимости от начального условия dX(t), определяемого значением u(t).

Если подобрать такой (n+1)-мерный вектор y(t), который при t < t £ T удовлетворяет условию

,                             (3.120)

где y(t) = [y₀(t) y₁(t) … y_n(t)]^T,

то вместо принятой в классическом вариационном исчислении функции Гамильтона (3.77) можно составить функцию Гамильтона для неклассических вариационных задач:

.                 (3.121)

Эта функция достигает максимума при оптимальном управлении u°(t), откуда следует принцип максимума: нужно так подобрать u(t) Î W_u, чтобы величина Н^* достигала максимального значения. При этом можно записать (для открытого множества W_u)

¶Н^*/¶u = 0.                                 (3.122)

Используя выражение (3.121) и уравнения объекта управления (3.113) с учетом (3.116), можно составить аналогично уравнениям (3.81) канонические уравнения Гамильтона для неклассических вариационных задач:

,                        (3.123)

где i = 0, 1, 2, ..., n.

Уравнения (3.123) при r координатах управления дополняются уравнениями

.                                         (3.124)

Пусть существует допустимое управление u(t) Î W_u, то соответствующая ему фазовая траектория проходит через фиксированные начальную X(t₀) и конечную X(Т) точки. Тогда u°(t) определяется по теореме Л. С. Понтрягина [12]:

для того чтобы управление u(t) было оптимальным, необходимо существование такой ненулевой вектор-функции y(t), соответствующей в силу уравнений (3.123) функциям u(t) и X(t), чтобы:

1) при t₀ £ t £ Т функция H^* достигла максимума при u°(t)

;                        (3.125)

2) в конечный момент времени t = Т выполнялись бы соотношения

.                    (3.126)

В большинстве случаев в (3.126) можно принять y₀(Т) = – 1.