Проверка устойчивости системы с помощью теоремы Ляпунова и метода Гурвица. Построение графика амплитудно-частотной характеристики

    Рис. 1 Исходная схема.

Дано:

, ,             ,                   

Решение:

Звенья соединены последовательно, следовательно, имеем:

В соответствии с данным преобразованием, структурная схема САУ примет вид:

Звенья W₅(p), W₄(p)  включены встречно – параллельно (сумматор отрицательный), следовательно:

Получили передаточную функцию данной системы:

            

1.2  Посчитаем устойчивость системы.

Для того чтобы проверить устойчивость системы, воспользуемся теоремой Ляпунова и методом Гурвица.

Теорема: автоматическая система, описанная линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, будет устойчива, если вещественные корни дифференциального уравнения будут отрицательны, а комплексные корни будут иметь отрицательную реальную часть.

Найдем корни характеристического уравнения данной системы.

                                   

Данная система устойчива, так как характеристическое уравнение имеет один отрицательный действительный корень и два комплексных корня с отрицательной реальной частью.

Устойчивость по Гурвицу: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны.

Запишем характеристическое уравнение для рассматриваемой системы, получим:

.

          Составим определители Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения:;;;.

 

     Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. все миноры больше нуля.

1.3  Построим переходный процесс.

На вход подается -функция Хевисайда.

      Функция, определяющая изменение выходной величины системы при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия и при нулевых начальных условиях называется переходной функцией системы и обозначается: h(t).

     По виду переходной характеристики можно также сказать, что данная система устойчива.

     По переходному процессу определим прямые оценки качества.

а)  Время переходного процесса – это время за которое регулируемая величина входит в пятипроцентную трубку.

б)  Время первого согласования – это время за которое регулируемая величина первый раз достигает установившееся значение.

в) Перерегулирование – определяем максимальную динамическую ошибку.

    

г) Время нарастания регулируемой величины – это время за которое регулируемая величина достигает максимальное значение.

д) Число колебаний – определяется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования процесса.

     По виду данного переходного процесса прямые оценки качества системы не определяются.

1.4  Построим график амплитудно-частотной характеристики.

Последовательность нахождения частотных характеристик:

1.  Сделать замену в передаточной функции .

2.  Освободится от мнимых чисел в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя выражения на комплексно-сопряженное знаменателю число.

3.  Раскрыть скобки и привести подобные члены и разделить в числителе на сумму вещественного и мнимого полиномов.

4.  Записать выражения для вещественной  и мнимой  частотных характеристик.

5.  Записать выражения для амплитудно-частотной характеристики.

6.  Построить графики.

Построение частотных характеристик по полученной передаточной функции.

    

Найдем корни характеристического уравнения данной системы.

                                 

Запишем передаточную функцию в следующем виде:

 

Умножим и числитель, и знаменатель на комплексно сопряженное число.

После всех преобразований получим:

Ведем замену

Выделим мнимую и реальную части:

Построим график АЧХ.

Найдем косвенные оценки качества.

а) Колебательность

    

     , тогда    

б) Резонансная частота – это часто при которой амплитуда максимальна.

    

в) Частота среза – это частота при которой амплитуда равна 1.

    

г) Полоса пропускания частот – это наилучшее провождение сигнала через систему или коридор ограниченный прямой параллельной оси  с координатой  . Из точек пересечения данной прямой с АЧХ опускаем перпендикуляры на ось , которые и ограничивают полосу пропускания частот.

     В нашем случае его нет.

1.5  Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнем систему, то получим

     ,

тогда

Запас по амплитуде равен , а по фазе .

Часть 2: Нелинейная система.

Дана структурная схема нелинейной САУ:

Нелинейный элемент имеет вид:

Б

А

     Релейные звенья для снижения  аналитических затрат необходимо вводить в режим пограничного регулирования. Загрубим крутизну статической характеристики в области АБ, тогда для расчета линеаризуем нелинейный элемент для этого найдем коэффициент крутизны , который показывает как входная величина преобразуется в выходную.

    

Согласно полученному выражению можем преобразовать структурную схему.

Звенья соединены последовательно, следовательно, имеем:

В соответствии с данным преобразованием, структурная схема САУ примет вид:

Звенья W₆(p), W₇(p)  включены встречно – параллельно (сумматор положительный), следовательно:

тогда:

     Исходя из схемы, по правилу преобразования структурных схем, получим передаточную функцию системы:

,

Получили передаточную функцию данной системы:

    

Анализ влияния полученного коэффициента усиления на поведение системы!!!!

Часть 3: Дискретная система.

Математическая модель непрерывно-дискретной САУ имеет вид:

Передаточные функции дискретной и непрерывной частей имеет вид:

                                

Дискретное управление на выходе непрерывно-дискретного элемента изменяется в строго определенные моменты времени, связанные с шагом квантования Т (Т=0,06), а все остальное время остается постоянным. Такой непрерывно-дискретный элемент называется элементом фиксатором нулевого порядка.

Дискретную математическую модель линейного дискретно-непрерывного объекта с передаточной функцией  и фиксатором нулевого порядка на выходе можно получить, используя Z – преобразование.

Получили z-преобразованную передаточную функцию замкнутой системы.

Проверим данную систему на устойчивость. Используем для этого метод Шур-Кона.

Полученную z-преобразованную функцию подвергаем ω-преобразованию.

Далее произведем λ-преобразование полученной функции.

Строим переходный процесс, АЧХ и находим прямые и косвенные оценки качества.

Размыкаем исходную непрерывную систему и получаем передаточную функцию разомкнутой системы. В этом случае передаточная функция непрерывной части имеет вид:

Затем проводим z-, ω-, λ-преобразования полученной передаточной функции. По полученной функции строим ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Выбор микропроцессора

Из данной системы выбираем наименее инерционное звено, граничная частота которого равна f_гр=…….. . На основании этого выбираем частоту микропроцессора f_мп=10f_гр  (Постоянные времени Т_мп=0,1Т_гр, где Т_гр – минимальная постоянная времени контура исходной системы).

Выводы: данная работа проделана абсолютно зря, так как в действительности линейных систем не бывает.