Переходные процессы при заряде и разряде конденсатора: Методические указания к выполнению лабораторной работы

Министерство  образования  и науки  Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ПРИ ЗАРЯДЕ И РАЗРЯДЕ КОНДЕНСАТОРА

Методические указания к выполнению лабораторной работы

по курсу «Теоретические основы электротехники»

для студентов специальностей 210100,100400

дневной  и очно-заочной форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники, технологии и управления

Балаково 2006

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ПРИ ЗАРЯДЕ И РАЗРЯДЕ КОНДЕНСАТОРА

          Ц е л ь  р а б о т ы:  исследование с помощью осциллографа апериодического заряда , апериодического, предельно-апериодического и колебательного разрядов конденсатора и сравнение осциллограмм с теоретическими графиками.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. Заряд конденсатора осуществляется через резистор с

UR     UC

R C

U

B

 сопротивлением   R  путем подключения разряженного конденсатора С  к источнику

Рис. 1                                                               Рис. 2

 постоянного напряжения U  (рис.1).                                 

          Целью расчета является получение зависимости  напряжения на конденсаторе U_c  от времени, которая изображена на рис.2.  Для этого решается дифференциальное уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы, изображенной на рис. 1.

.                                          (1)

Дифференциальное уравнение (1) описывает изменение напряжения Ucво времени. Решение для Uc(t)  ищется в виде двух составляющих: принуждённой U_{C ПР} и свободной U_{C СВ} (t).

Uc(t)= U_{C ПР} + U_{C СВ} (t).                                (2)

Принуждённая составляющая U_{C ПР}  – напряжение на конденсаторе, устанавливающееся после окончания переходного процесса под действием принуждающей ЭДС (напряжения). Очевидно, что после окончания заряда конденсатора напряжение на конденсаторе будет равно напряжению источника

U_{C ПР} = U.                                            (3)

Свободная составляющая U_{C СВ} (t) находится из решения однородного дифференциального уравнения, получаемого из (1) при :

                                         (4)

Решение этого уравнения

.                                     (5)

Показатель степени  является корнем характеристического уравнения :

                                        ,                                    (6)
где   – постоянная времени цепи, состоящей из последовательно включённых  и .

Значение  определяется из  (5)  при :

А = U_{C СВ} (0).                                                (7)

Свободная составляющая U_{C СВ} (0) определяется с использованием второго закона коммутации, учитывая, что в момент коммутации при  конденсатор разряжен:

U_{C СВ} (0) = U_C (0+) - U_{C ПР} = U_C (0 -) - U_{C ПР} = 0 - U_{C ПР} = -U.      (8)

С учетом (5), (7) и (8) свободное напряжение на емкости

.                              (9)

Напряжение на ёмкости возрастает по экспоненциальной зависимости (рис. 2):

               Uc(t) = U_{C ПР} + U_{C СВ} (t)  = U.      (10)

Если известна экспериментальная зависимость Uc(t), то постоянную времени t = RC можно определить из графика. Для этого проводится линия  u1 = 0.637*U  параллельно оси абсцисс до пересечения с Uc(t). Отрезок по временной оси от начала координат до точки пересечения с графиком Uc(t) определяет постоянную времени t. Если требуется определить напряжение на конденсаторе в заданный момент времени, например при  t=0.01c, то в формулу (10) подставляют заданное время.

Uк = Uc(0.01) =  U .                     (11)

В лабораторной работе конечная точка напряжения заряда конденсатора является начальной точкой разряда.

2. Разряд конденсатора , предварительно заряженного до напряжения Uк, осуществляется на   и L (рис.3).

Дифференциальное уравнение, описывающее изменение напряжения  во времени в цепи с , ,  имеет вид:

            .                                           (12)

Принужденные значения напряжения на конденсаторе U_{C ПР} и тока i_ПР  через индуктивность равны нулю, так как в цепи отсутствует источник (принуждающая сила).

U_{C ПР} = 0,   i_ПР=0.                                                (13)

                         B                             R              L                C

                                                                                   

                                                                         U_R            U_L           U_C                            

                                                                                                                                                                          

 

                                                       Рис. 3

           В связи с отсутствием принуждающих сил, свободная составляющая является решением уравнения (12).

Характеристическое уравнение для цепи разряда имеет вид:

LCP²+RCP+1=0.                                                    (14)

   Характер разряда будет зависеть от корней характеристического уравнения:

               .                             (15)

Возможны три случая:

а)    – действительные, отрицательные, разные корни, получающиеся при условии >  (дискриминант положительный); это случай апериодического разряда.

Решение уравнения (12) имеет вид:

                .       (16)

          Задаваясь значениями времени t, строят  экспоненту

,                       (17)

затем

.                   (18)

График зависимости Uc(t) представляет собой алгебраическую сумму экспонент с различными постоянными времени (рис. 4):

Uc(t) = U₁(t) + U₂(t).                                    (19)