Определение тока и закона изменения во времени тока во второй ветви, приведённой схемы, интегралом Дюамеля

Задание №1

Вариант	Рис.	Е,В	L,Гн	С, Ф	R1	R2	R3	R4	Определить
					Ом
60	4-14	50	10-3	10-4	4	6	10	10	i2

1.1  Классический метод

                     L     i_L           R₂                              

   R₁                                                     i₃                                   

         C               i₂                   R₃                                   R₄

                   E                                      

Определим ток через индуктивность L и напряжение на ёмкости C в момент  времени t=0_

Определяем принуждённые составляющие тока через индуктивность, напряжения на емкости:

Отсюда можно найти свободные составляющие тока через индуктивность и напряжения на ёмкости  в момент времени t=0,учитывая первый закон коммутации

Составим характеристическое уравнение для приведённой схемы, разорвав ёе предварительно в месте ЭДС.

 Приравнивая Z(p)=0 решаем получившееся уравнение относительно p:

При двух корнях характеристического уравнения решение для свободной составляющей имеет вид:

i_2ccb(t)=A₁*e^p1t+ A₂*e^p2t

А для момента времени i_ccb0 и её производная имеют вид:

Найдём неизвестные коэффициенты, применяя законы Кирхгофа к рассматриваемой схеме (в момент времени t=0), а также их производные первого порядка (так как степень характеристического уравнения равна 2).                                                                 

При известном  dU_ccb0/dt=0, система уравнения  относительно неизвестных коэффициентов становится разрешимой

. Тогда:

1.2  Операторный метод

Составим схему замещения для выше приведённой электрической схемы.

                     Lp     I₁(p)   R₂    Li_L_                          

   R₁                                                                     I₃(p)                                   

             1/Cp

                           I₂(p)                                 R₃                                  

 

U_c_/p_{_}

                E/p                                      

Аналогично выполняем расчёт для

Рассчитаем токи действующие  в ветвях схемы по МКТ.

Составляем систему уравнений:

Решаем систему методом Крамара -Копели

Составляем определитель коэффициентов и раскрывая его, упрощаем:

Затем:

Тогда контурные токи будут определены в виде

А отсюда

Найдём корни характеристического уравнения

Делаем необходимые преобразования над получившимся изображением  I₂(p)  получаем закон изменения тока при переходном процессе.

                     Задание №2

Требуется определить закон изменения во времени тока i₃(t)  во второй ветви, схемы приведённой ниже, интегралом Дюамеля.

                           I₁(p)           

                                                                            I₃(p)      I₃(p) 

                                                                 R                                 2R   

                   1/p                                                     II        1/Cp     

                                         I

                                                                           III      

                                                               2R                                  R

 

Где входное напряжение имеет сложную форму вида:

                    U₁                                                   

 

                                U₁=-А/2+k*t

                                                                           А

 

             A/2     0                                      t₁                             t

 

Определим переходную проводимость g(t) для исследуемой схемы, для этого подадим на вход схемы U=1 (B), то i₃(t)=U*g(t)  примет вид i₃(t)=g(t), где  g(t)- переходная проводимость .Расчёт ведётся при нулевых начальных условиях, поэтому U_C(-0)=0.

Рассчитываем ток  I₃(p) методом контурных токов:

Преобразуем получившееся изображение I₃(p) в функцию от времени, т.е. в i₃(t).

            Задание №3

Задан спектр некоторой функции U(t)=U₀(αt - 1)e^-αt , где α=60 1/с, U₀=300 B. U(t) задана на графике:

            3.1 Получим аналитическое выражение для модуля и аргумента спектра функции U(t).

Используя табличные значения преобразуем оригинал функции U(t) в её изображение.

            3.2 Представление выражения |U_jw| в виде функции от w/α

Преобразуем выражение

            3.3 Построение  найденной функции