Определение передаточной функции системы управления, представленной структурной схемы. Определение передаточной функции для заданной системы и отображение полюсов системы на комплексной плоскости, страница 2

Критерий Михайлова: Для устойчивости линейной системы (наличия только полюсов, расположенных в левой полуплоскости) необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа ее характеристического полинома степени  составляло () рад или квадрантов (четвертей) при изменении частоты .

В данном случае , годограф Михайлова проходит 2 квадранта, поэтому можно сделать вывод, что система является устойчивой.

Критерий Найквиста

Вывод об устойчивости замкнутой системы можно сделать на основе анализа ее частотных характеристик в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция разомкнутой системы управления

.

Комплексный коэффициент передачи имеет вид

Исходя из полученного выражения, АЧХ и ФЧХ системы будут находиться:

,

.

Графики АЧХ и ФЧХ системы изображены на рисунках 14 и 15, соответственно

Рисунок 14 – АЧХ

Рисунок 15 – ФЧХ

Система устойчива, так как выполняются необходимые требования.

Определение запасов устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде L₃  определяет, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оставалась устойчивой

.

Определить передаточную функцию последовательного регулятора, который необходимо добавить в прямую связь для коррекции системы РА. В результате чего система должна иметь следующие показатели качества: при подаче ступенчатого воздействия на вход перерегулирование не должно превышать 20 %, время регулирования не более 0,5 с, относительная погрешность регулирования в установившемся режиме не более 0,01 %.

Строится АЛАЧХ разомкнутой системы

Для этого нужно представить передаточную функцию в виде типового звена

Передаточная функция разомкнутой системы управления имеет вид:

,

тогда преобразованная передаточная функция имеет вид:

Система представляет собой колебательное звено.

Коэффициент усиления звена .

Определение  частоты точки излома. Для этого необходимо найти значение постоянной времени звена:

с,

откуда

с

Тогда значение частоты точки излома будет:

,

рад/с.

Определение точки пересечения низкочастотной асимптоты через коэффициент усиления звена

Дб.

Колебательное звено дает наклон – 40 дБ/дек.

График АЛАЧХ изображен на рисунке 16.

Построение желаемой асимптотической характеристики (ЖАЛАЧХ)

Порядок астатизма .

На частоте рад/с откладывается величина . Через полученную точку проводим НЧ асимптоту с наклоном минус 20дБ/дек.

Определение частоты среза

С помощью номограммы Солодовникова и по заданным показателям качества (время переходного процесса t_n ≤ 0,5, перерегулирование σ ≤ 20%) выбирается значение частоты среза, которая влияет на устойчивость системы.

;

;

=15,7 рад/с .

Проводят среднечастотную асимптоту с наклоном минус 20 дБ/дек в диапазоне частот [ω_с, ω_в], которые выбираются из соотношений

,

,

откуда

31,4 ≤ ≤ 62,8 рад/с .

Так как

,

и если взять ширину среднечастотного участка 1 дек, то  диапазон нижней частоты составит

3,14 ≤  ≤6,28 рад/c.

Выбираются значения граничных частот среднечастотного участка

Строят сопрягающую часть для низкочастотной и среднечастотной асимптот с наклоном  минус 40 дБ/дек, так как данный наклон облегчает реализацию. Из построения сопрягающей части было определено, что точка пересечения

=0,33 рад/c.

Для высокочастотной асимптоты выбирается наклон  минус 40 дБ/дек.

Определим передаточную функцию желаемой разомкнутой системы.

Низкочастотная часть имеет наклон минус 20 дБ/дек, что соответствует интегрирующему звену первого порядка  с передаточной функцией .

Сопрягающая часть имеет наклон  минус 40 дБ/дек, поэтому описывается апериодическим звеном первого порядка с передаточной функцией , так как оно дает дополнительный  наклон  минус 20 дБ/дек.

Среднечастотной части соответствует форсирующее звено  с передаточной функцией ,  так как оно дает дополнительный наклон  плюс 20 дБ/дек.

Высокочастотной части соответствует апериодическое звено первого порядка.

Определяется передаточную функцию желаемой разомкнутой системы

Для этого находятся постоянные времени звеньев по соответствующим частотам изломов:

;

=0,33 рад/c,    =3,03 с,

=4,5 рад/с,         =0,282 с,

=45 рад/с,        =0,022 с.

Таким образом, желаемая передаточная функция  разомкнутой системы имеет вид

Определение передаточной функции последовательного регулятора

,

.

Анализ скорректированной системы.

Переходная характеристика скорректированной системы представлена на рисунке 17

Рисунок 17 – Переходная характеристика скорректированной системы

Определение основных показателей качества представлено на рисунке 18

Рисунок 18 – Определение показателей качества

1) перерегулирование σ – относительное значение первого выброса переходной характеристики, то есть.

,

.

2) время переходного процесса t_n – время, после которого выходной процесс не выходит за границы данной области

t_n=0,443 с.

Заключение

В соответствии с заданием были выполнены следующие расчёты:

В задании 1

1) Была найдена передаточная функция системы

;

2) Записано дифференциальное уравнение, которым описывается система

;

В задании 2

1) Для заданной системы определена передаточная функция и изображены полюсы системы на комплексной плоскости. Получили:

2) Определены и построены переходная характеристика

;

импульсная характеристика

3) Построены АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, АЛАЧХ системы.

4) Проведен анализ устойчивости системы

5) Определена передаточная функция последовательного регулятора, который необходимо добавить в прямую связь для коррекции системы РА

Литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника». – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 405с.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – 13-е изд., исправленное. – М.: Наука, 1986. – 625с.

3 Лукас В.А. Теория автоматического управления. – 2 изд., перераб. и доп. – М.: Недра, 1990. – 416с.

4.Никулин В.А. Частотные методы анализа и синтеза теории автоматического управления. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Наука, 2000. – 230с.

Приложение А

Нахождение полюсов передаточной функции системы с помощью программы Mahcad