Определение закона изменения во времени одной из величин после коммутации двумя методами - классическим и операторным. Определение закона изменения во времени одной из величин с помощью интеграла Дюамеля

Задача 1. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация. В цепи действует постоянная ЭДС E. Требуется определить закон изменения во времени одной из величин после коммутации. Задачу решить 2 методами - классическим и операторным. Построить график изменения искомой величины во времени на интервале от t=0 до t=3/|p|min, где |p|min - наименьший по модулю корень характеристического уравнения.

Находим ток через индуктивность до коммутации и напряжение на емкостях:

Применим 1 и 2 законы коммутации iL(+0)=iL(-0), uC(+0)=uC(-0).

Определим принужденную составляющую тока iL через индуктивность и напряжение на конденсаторе в цепи после коммутации:

 

Определим свободную составляющую тока  через индуктивность и напряжение на конденсаторе.

uCсв(0)=uC(+0)-uCпр.

Составим характеристическое уравнение путем определения входного сопротивления схемы при этом источник ЭДС закорачивается, схема разрывается в любом месте и относительно точек разрыва определяется сопротивление:

Составим и решим характеристическое уравнение:

Решим получившееся квадратное уравнение

У нас получилось два отрицательных, неравных между собой, действительных корня, и свободная составляющая заапишется в виде следующего выражения: 

iLсв =  A1ep1t+A2ep2t

Для нахождения неизвестных коэффициентов A1,A2 составим систему уравнений включаюшая решение и производную до n-1 порядка включительно, так как у нас два корня нам нужно найти производную первого порядка:

Найдем diLсв(+0)/dt:

По 2 закону Кирхгофа найдем uLсв(+0):

Решим систему относитльно неизвестных коэффициентов А

Запишем решение для искомого iL

Найдем напряжение на индуктивности uL в общем виде :

Построим график изменения напряжения на индуктивности во времени uL(t):

Решим эту же задачу операторым методом так как условия задачи не изменились то данные можно взять из решения задачи классическим методом.

Найдем напряжения на емкостях и ток через индуктивность в начальный момент времени uC(0) и iL(0):

Составим операторную схему замещения для до коммутационной схемы.

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа и решим ее (матричны методом):

Нам необходимо расчитать только ток

Ток  будет равен:

По закону Ома:

Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал напряжения  uL(t):

Результаты полученные классическими и операторными методами совпадают но с небольшими отклонениями, эти ошибки вызваны в погрешнностях вычислений и равны (бесконечно малая величина) что позволяет считать вычисления верными.

Задача 2. Дана электрическая схема, на входе которой действует напряжение, изменяющееся во времени по заданному закону u1(t). Требуется определить закон изменения во времени одной из величин. Задачу решить с помощью интеграла Дюамеля. Искомую величину определить (т.е. записать аналитическое выражение) для всех интервалов времени.

Найдем переходную функцию тока g(t) операторным методом.

Найдем ток через индуктивность до коммутации и сразу после коммутации:

                   

Пусть напряжение u1(t) изменилось скачком на 1 В:  

                   

Решение проведем операторным методом.

На вход нашей схемы подадим испытательную функцию Хевисайда.

         

Составим и решим уравнение по закону Ома в операторной форме относительно изображения тока I1(p):

Найдем оригинал тока i1(t), используя обратное преобразование Лапласа:

Запишем интеграл Дюамеля в 1 форме:

Решим интеграл на 2-х интервалах времени: от 0 до t1 и от t1 до .

Для первого интервала:

Подставим значение в интеграл и вычислим его

Для второго интервала:

Подставим значение во второй интеграл и вычислим его

Задача 3. Дано качественное изображение импульса напряжения и его аналитическое выражение. Требуется:

          1) Получить аналитическое выражение для модуля и аргумента спектра этой функции U(jw) = |U(jw)|ejy(w)

          2) Полученное выражение |U(jw)| представить в функции безразмерной величины w/a

          3) Построить зависимость |U(jw)| в функции w/a (если полученное выражение не содержит a, то построить зависимость в функции w). При построении графика ограничиться значениями w/a, при которых ордината кривой достигает 0,1-0,2 от ее максимального значения.

По условию нам задана следующая функция

Разделим чилитель и знаменатель на α²

Для  построения модуля фукции в относительных единицах проведем дополнительные преобразования.

Построим график функции