Общие понятия об оптимальных динамических режимах работы объектов

Лекция №7

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ РАБОТЫ ОБЪЕКТОВ

Динамический режим работы объекта является оптимальным, если функционал принятого при этом критерия качества имеет экстремальное значение. Для различных объектов и условий их работы функционалы критерия качества различны (см. § 1.2).

При оптимизации динамики обычно рассматривают основные функционалы критериев качества, характеризующие время переходного процесса [см. (1.2)], ошибку [см. (.1.3)1, расход энергии на управление [см. (1.9)1. Задача оптимизации динамики объекта в общем случае является экстремальной задачей типа (1.37) для скалярного критерия либо типа (1.40) при векторной оптимизации (см. § 1.4).

Из величин, характеризующих динамику объекта, будем рассматривать координаты управления u_l(t), координаты состояния x_i(t) и координаты выхода объекта y_j(t). Координаты управления – это внешние воздействия, приложенные к объекту для осуществления процесса управления. Такие координаты могут быть непрерывными функциями времени или иметь разрывы первого рода. В связи с указанным функции координат управления u_l(t) делят (рис. 3.6). На кусочно-непрерывные (линия 1), имеющие разрывы первого рода; на кусочно-гладкие (линия 2), имеющие разрывы первого рода для производной ; на гладкие (линия 3), имеющие непрерывные производные . Линию 4, имеющую вариацию функции в момент времени t, используют для пояснения принципа максимума Л.С.Понтрягина.

В отличие от координат управления координаты состояния x_i(t) могут изменяться только с ограниченной скоростью, так как они представляют собой выходные величины некоторых динамических элементов. Это означает, что функции x_i(t) могут быть гладкими и кусочно-гладкими.

В реальных условиях все координаты управления и состояния ограничены, т. е. их значения находятся внутри ограниченных областей u(t) Î W_u; X(t) Î W_x. Допустимую область называют открытой, если в нее не включены точки границы, и замкнутой, если она включает граничные точки.

Если координаты управления и состояния объекта при оптимальном процессе не достигают предельных значений (границы), то области изменения координат u_l(t) и х_i(t) могут считаться условно открытыми. Задачи оптимального управления при открытых областях относят к числу наиболее простых и решают методами классического вариационного исчисления.

Во многих случаях при оптимальном управлении предельные значения принимают только координаты управлений, а выходные координаты ограничений не достигают. Для решения задач с ограничениями применяют принцип максимума Л.С.Понтрягина или метод динамического программирования Р.Беллмана. Наиболее сложны задачи оптимального управления при наличии ограничений координат управлений и фазовых координат объекта.

При изучении переходных процессов систем управления характер динамики можно оценивать величиной определенного интеграла. Например, для одномерных объектов

,                                    (3.54)

где у = у(t) и  – траектории координаты выхода и ее первой производной по времени.

Техническая задача оптимизации динамики объекта сводится к математической задаче отыскания экстремума функционалов (3.54). Дадим приращение аргументу функционала и выясним, как изменяется при этом его величина. Приращением или вариацией d_y аргумента у(t) функционала J[у(t)] называют разность между двумя функциями d_у = у₂(t) – y₁(t). При этом предполагается, что у(t) меняется произвольно в некотором классе гладких функций (рис. 3.7, кривые 1 и 2) в интервале [t₀, t_к], а граничные ординаты у(t₀) и у(t_к) функций у₁(t) и у₂(t) совпадают, т. е.

dy(t₀)=0;      dy(t_к)=0.                           (3.55)

Эти условия означают, что варьирование функции производится при фиксированных граничных условиях (задача с закрепленными концами).

Варьирование функции состоит в том, что от первоначальной функции у₁(t) переходят к близкой, мало отличающейся от нее, функции у₂(t) и сравнивают их при определенных значениях независимой переменной t.

Подобно тому как в классическом анализе функций необходимым условием существования экстремального значения дифференцируемой функции является равенство нулю ее первой производной, так в вариационном исчислении доказано, что необходимым условием существования экстремального значения интеграла типа (3.54) является равенство нулю его первой вариации:

dJ = 0.                                                   (3.58)

Уравнение

.                       (3.60)

называют дифференциальным уравнением Эйлера, которое является необходимым условием экстремума интеграла (3.54) при фиксированных граничных условиях и отсутствии ограничений на координаты. Если граничные условия нефиксированны, то при решении уравнений Эйлера требуется учитывать условия трансверсальности [13].

Кривые  и , на которых реализуется экстремум функционала, являются интегральными кривыми уравнения (3.60). Их называют экстремалями. Чтобы выяснить, соответствует ли найденная экстремаль минимуму функционала, требуется привлечь достаточные условия существования экстремума.

Экстремума функции f(U), для нахождения экстремума было не достаточно решить уравнение (3.1) и требовалось еще исследование второй производной в стационарной точке, так и в данном случае для нахождения экстремума функционала (3.54) помимо решения уравнений Эйлера (3.60) необходимо проверить выполнение дополнительных условий. Исследование этих дополнительных условий является сложным, поэтому в практике иногда ограничиваются численной проверкой значения функционала около найденной экстремали.