Нелинейная САУ. Построение математической модели методами структурных преобразований, фазовой плоскости и изоклин. Построение переходного процесса методом припасовывания

Варіант 4

Раздел 2. НЕЛИНЕЙНАЯ САУ

Расчет нелинейной САУ второго порядка

Структурная схема

Задание:

1.  Построение математической модели методом структурных преобразований.

2.  Построение математической модели методом:

2.1.  Фазовой плоскости

2.2.  Изоклин

3.  Построение переходного процесса методом:

3.1.  Припасовывания

Решение

1.  Побудова математичної моделі САК методом структурних перетворень

По-перше, вузли внутрішнього контуру зворотного зв’язку, що характеризується параметром підсилення  перенесемо. Вузол перенесемо за динамічний елемент з параметром перетворення , а суматор за елемент з коефіцієнтом підсилення K_пе. Отримаємо:

Тепер, зворотні зв’язки є паралельно з’єднаними, тому можемо зробити перетворення:

Далі, з урахуванням послідовного з’єднання можемо перетворити схему.

Таким чином, ми прийшли до схеми, в якій локалізовано лінійні та нелінійні елементи САК. Виходячи з цієї схеми можемо записати:

Звідки,

Звідки отримуємо рівняння, що описує нелінійну САК

Перше рівняння описує лінійну частину, друге – нелінійну.

Тепер, підставляємо числові дані ( приймаємо рівним 2):

Таким чином, нелінійна САК описується нелінійним диференційним рівнянням другого порядку.

2.  Метод фазової площини

Нелінійна функція  - характеристика з зоною насичення задається рівнянням

Рис. Графік нелінійної частини системи

Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Нехай сигнал . Тоді,

Ділимо друге рівняння на перше

Далі, розглянемо три проміжки

На першому проміжку:

Розв’язуємо це рівняння в середовищі Мathcad та будуємо фазові криві.

Рис. Фазові криві в першій області

Аналогічно, розв’язуємо на двох інших проміжках. Отримуємо з рівнянь графіки фазових кривих.

На другому проміжку

Розв’язок рівняння можна отримати заміною .

Рис. Фазові криві в другій області

На третьому проміжку

Рис. Фазові криві в третій області.

3.  Метод ізоклін

В даному випадку виходимо з раніше отриманого рівняння

При цьому праву частину прирівнюємо константі.

Таким же чином як раніше розглянемо три проміжки

На першому проміжку

На першому проміжку ізокліни паралельні вісі абсцис.

На другому проміжку

На другому проміжку вісі є прямими, що проходять через початок координат.

На третьому проміжку

 

3.1. Побудова перехідного процесу методом припасовування.

Покладаємо, що вхідний сигнал одиничний З рівнянь

Отримуємо

Далі,

.

Як і раніше, розглядаємо три проміжки:

На першому проміжку

Характеристичне рівняння

Звідки розв’язок рівняння

Задамо початкові умови

Тоді

Звідки,

Визначимо, момент коли

При цьому

.

Далі, розглядаємо рівняння на другому проміжку

Звідки,

При цьому,

З цього рівняння визначаємо константи.

Потім, з умови

=3,333.

Визначаємо початкові умови для третього етапу розв’язку.

Розглянемо рівняння на третьому проміжку

 

Звідки,

Звідки розв’язок рівняння

За значеннями отриманими на попередньому етапі отримуємо значення констант.

Таким чином, отримуємо розрахований перехідний процес в нелінійній системі.

Раздел 3. ДИСКРЕТНАЯ САУ

Расчет Дискретной САУ второго порядка

Структурная схема

Задание:

1.  Составление математической модели системы

1.1.  в  форме

1.2.  В форме дискретного управления

Розв’язання

1.1. Складання математичної моделі системи в  формі

Знайдемо спочатку передавальну функцію розімкненої системи. Дискретна частина являє екстраполятор нульового порядку. Передавальна функція розімкненої системи може бути записана у вигляді

Де  - передавальна функція неперервної частини.

В нашому випадку

=.

Тоді,

Тоді, користуючись таблицями для -зображень можемо знайти, що передавальна функція розімкненої системи:

Де , - період дискретизації.

Передавальна функція замкненої системи:

Підставляємо числові дані. Отримуємо

Звідки,

1.2. Складання математичної моделі системи в формі дискретного керування

Зображення вхідної та вихідної величин пов’язані співвідношенням

Перепишемо цю формулу у вигляді

.

Звідки, отримуємо різницеве рівняння, що і є математичною моделлю у формі дискретного управління