Другие предметы \ Моделирование систем управления

Моделирование систем на микро- и макроуровне: Методические указания к выполнению курсового проекта, страница 2

3) Оформление таблиц: таблицы необходимо сопровождать тематическими заголовками, иметь свой номер со сквозной нумерацией.

4) Рисунки должны иметь сквозную нумерацию с тематическим заголовком.

5) Оформление Приложения с графической частью согласно приложениям данного методического указания.

ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ НА МИКРОУРОВНЕ

1.1 Исходные данные

Исходные данные для выполнения первой части курсового проекта:1) Уравнение колебания струны /4/; с. 84:

(1)

2) Начальные условия:

3) Граничные условия:

, ,

4) Стандартизирующая функция:

(2)

5) Функция Грина:

(3)

6) Континуальная передаточная функция:

(4)

1.2 Идентификация краевой задачи

Уравнение (1) представляет собой одномерное уравнение гиперболического типа, имеющую вторую производную по времени t. Данное уравнение описывает колебания струны. Проведём идентификацию всех величин входящих в уравнение (1).

Дифференциальное уравнение имеет вид:

где Q(x,t) – выходная распределённая величина, представляющая собой ортогональную деформацию струны, м;

f(x,t) – входное распределённое воздействие на струну, м/c².

Для уравнения (1) формулируются следующие условия:

- начальные условия: , ;

- граничные условия: , , , , .

Стандартизирующая функция, компенсирующая влияние начальных и граничных условий для данной одномерной задачи имеет вид (2).

Функция Грина, являющаяся решением краевой задачи при начальных и граничных условиях и входном воздействии в виде δ-функции имеет вид (3).

Континуальная передаточная функция, являющаяся преобразованием Лапласа функции Грина имеет вид (4).

Для решения частной задачи примем следующие условия:

- входное воздействие:

f(x,t)=0;

- начальные условия, описывающие положение струны в начальный момент времени:

;

- граничные условия, описывающие колебание струны на концах стержня:

, , .

Примем, что а=1 , b=1 , l=2 [м] – длина струны.

Представим на рисунке 1 изображение струны в начальный момент времени:

Рисунок 1 – Изображение струны

Отобразим на рисунке 2 граничное условие на конце струны.

Произведём проверку размерности. Пусть Q(x,t) – ортогональное отклонение струны [м]. Тогда входное воздействие f(x,t) имеет размерность [м/с²]:

где р – давление на струну, Н/м²;

ρ – плотность материала струны, кг/м³;

l – длина струны, м.

Тогда:

Рисунок 2 – Граничное условие на конце струны

Волновая скорость струны а имеет размерность [м/с]:

где T – натяжение струны, Н/м²;

ρ – плотность материала струны, кг/м³.

Тогда:

Частота колебания струны b имеет размерность [1/с]:

где m – масса струны, кг.

Тогда:

Учитывая размерности всех коэффициентов и величин, входящих в данное уравнение, получим:

Размерность соблюдается, следовательно, все коэффициенты подобраны – верно.

С учётом входного воздействия, принятых начальных и граничных условий стандартизирующая функция принимает вид:

где δ^'(t) и δ^'(2-х) – импульсные переменные функции.

1.3 Расчёт статической характеристики

Идентификация исходного уравнения позволяет перейти к расчету распределенной выходной величины, являющейся функцией как пространственной, так и временной координаты и рассчитываемой как пространственно-временная композиция от произведения функции Грина на стандартизирующую функцию:

(5)

Выходная величина Q(x,t) находится как сумма двух составляющих:

Q(x,t)=Q₁(x,t) + Q₂(x,t), (6)

где Q₁(x,t) и Q₂(x,t) – первая и вторая составляющие выходной величины и находятся как:

(7)

(8)

Первая составляющая решения выходной функции:

(9)

Определим производную от функции Грина:

(10)

Подставим уравнение (10) в (9):

Решим отдельно интеграл:

(11)

Результат расчета:

Вторая составляющая решения выходной функции:

(12)

Определим производную функции Грина:

(13)

Подставим уравнение (13) в (12):

Решим отдельно интеграл:

Пусть ξ=2, тогда:

Выходная величина:

Построим график этой функции при фиксированном времени t.

Рисунок 3 – График выходной величины Q(x,t) при t=0.3с

Рисунок 4 – График выходной величины Q(x,t) при t=11с

1.4 Расчёт динамической характеристики

Динамическая характеристика находится по интегральной передаточной функции , которая рассчитывается как пространственная композиция от произведения континуальной передаточной функции на преобразованную по Лапласу стандартизирующую функцию с выделенным из неё входным воздействием. Так как стандартизирующая функция не содержит входное воздействие f(x,t), то: