МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Г.В. ПЛЕХАНОВА
Курсовая работа по дисциплине «Информационные технологии в экономике»
На тему: «Решение задач линейной алгебры в Ms Excel»
Выполнил студент 1 курса
Группы № «414» / дневное отделение
Факультета математической
экономики и информатики
Научный руководитель:
к.э.н., доцент кафедры ИТ
Москва 2015
Данная работа посвящена решению задач линейной алгебры в Excel,точнее решению систем линейных уравнений. Будут рассмотрены три метода: метод Гаусса, метод, основанный на нахождении обратной матрицы и метод наименьших квадратов.
В первом параграфе работы в качестве примера использования систем линейных уравнений в экономике приведена простейшая задача о рационе и её решение методом Гаусса в частном случае, когда количество неизвестных совпадает с количеством уравнений.
Во втором параграфе рассматривается модель Леонтьева межотраслевого баланса. Это модель, позволяющая анализировать состояние экономики и моделировать различные сценарии ее развития. Возникающая в этом методе система линейных уравнений традиционно решается нахождением обратной матрицы. Чтобы пояснить, запишем модель Леонтьева в матричной форме:
(E-A)*X=Y
Если у нас имеется матрица (Е-А)-1 ,то умножая обе части равенства на эту матрицу, получим: Х=(Е-А)-1*У.
Третий параграф описывает решение задач, сводящихся к решению систем линейных уравнений, при помощи МНК (метода наименьших квадратов).
В каждом параграфе будет приведена реализация в Excel.
1. Метод Гаусса и одно из его приложений в экономике (задача о рационе)
1.1. Простейшая задача о рационе.
Формулировка
задачи. Допустим, на ферме занимаются
выращиванием телят. Известно, что для хорошего роста теленка в день ему
необходимо потреблять m
веществ в количестве ,…,
соответственно.
На ферму ежедневно
завозится n кормов в количестве,…,
. Известно, что
доля итогового вещества в j-ом
корме равна
. Тогда общее
количество вещества определяется по формуле
(слагаемое – количество
итогового вещества в j
корме; i=1,…,n).
В результате получаем систему
(1)
Если m ≠n ,то система называется прямоугольной и методы её решения рассматриваются в другом параграфе. В данном случае будем считать, что m=n. Такая система является квадратной и к ней применим метод Гаусса.
1.2. Метод Гаусса.
Алгоритм Метода Гаусса состоит из двух основных частей: прямой ход и обратный ход.
Прямой ход
заключается в том, что система приводится к треугольному виду (верхняя
унитреугольная форма). Обратный ход – непосредственное нахождение неизвестных.
Причем, корни находятся в обратном порядке: сначала , затем
и т.д.
1) Прямой ход состоит из следующих шагов.
На первом шаге
элементарными преобразованиями исключается из всех уравнений,
начиная со второго.
Второй шаг
заключается в исключение из всех
уравнений, начиная с третьего.
На s
шаге исключается из
всех уравнений, начиная с s+1
(s=1,…,n-1).
При этом каждый
шаг начинается с обработки sуравнения:
строка под номером sделится
на,чтобы коэффициент
при
стал равен 1.
Описанный алгоритм носит циклический характер.
После завершения этого процесса получаем систему:
(2)
2) Обратный ход.
В результате выполнения алгоритма прямого хода система
(1) приняла треугольный вид (2). Для нахождения решения остается из системы (2)
найти ,
, …,
. Метод нахождения
достаточно очевиден: из последнего уравнения находим
.
Затем, подставив найденное
значение в (n-1)-ое
уравнение,
найдем
, и т.д. Таким
образом, s-ое
неизвестное
находим из s-го
уравнения:
. 1.0.
Причем, если условиться считать, что значение суммы, в которой нижний индекс суммирования больше верхнего (пустая сумма), равно нулю, в формуле 1.0. можно считать, что индекс s принимает натуральные значения от n до 1.
1.3. Метод Гаусса в Excel.
В Excel Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. Существует более рациональный способ реализации данного метода в Excel.
Решим задачу о рационе в Excel.
Формулировка:
Допустим, на ферме
занимаются выращиванием телят. Известно, что для хорошего роста теленка в день
ему необходимо потреблять 4 вещества в количестве ,
,
,
соответственно.
На ферму ежедневно
завозится 4 корма в количестве ,…,
. Известно, что
доля итогового вещества в j-ом
корме равна
. Тогда общее
количество вещества определяется по
формуле
=
(слагаемое - количество
итогового вещества в j
корме;
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.