Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.

Выражение:

    (1)

называется разностным уравнением.

Здесь - заданные постоянные коэффициенты, а  - заданная дискретная функция.

Уравнение (1) устанавливает связь между дискретной функцией и ее разностями.

Если воспользоваться:

   (2)

То уравнение (1) представим в виде:

   (3)

Где  - постоянные коэффициенты, связанные с  формулой:

    (4)

Число n в выражении (3) – порядок разностного уравнения.

Дискретная функция , которая обращает разностное уравнение (3) в тождество, называется решением разностного уравнения.

Если , то получим однородное разностное уравнение:

    (5)

Уравнение вида:

   (6)

называется характеристическим уравнением заданного разностного уравнения. Общее решение разностного уравнения (3) состоит из двух частей:

1) Из общего решение соответствующего линейного однородного уравнения, которое зависит от n постоянных и определяется формулой:

    (7)

2) Из частного решения неоднородного разностного уравнения , которое определяется видом правой части . И, следовательно, общее решение линейного неоднородного разностного уравнения определяется равенством:

  (8)