Выбор и идентификация уравнения. Расчет выходной величины. Расчет интегральной передаточной функции. Построение логарифмических характеристик, синтез аппроксимированной передаточной функции

1.2 Выбор и идентификация уравнения

Исходное уравнение, описывающее колебания мембраны, имеет следующий вид:

,              (4)

Зададим размерность выходного сигнала  (первичная размерность) – ортогональная деформация мембраны.

Тогда вторичная размерность (входной сигнал) будет равна:

,                                                                                              (5)

где g  – поверхностное усилие на мембрану, [Н/м²];

      – поверхностная погонная плотность мембраны, [кг/м²].

То есть а с размерностью [м/с] в уравнении (4) является волновой скоростью мембраны. Волновая скорость определяется из выражения:

,                                                                                                            (6)

где Т – поверхностное натяжение мембраны, [Н/м²];

       - объемная плотность материала мембраны, [кг/м³].

Пусть входное воздействие на мембрану имеет вид:

 ,                                                                                                   (7)

Знак «минус» в выражении (7) указывает на то, что давление на мембрану осуществляется сверху. Радиус мембраны R составляет 0,015 м, значит, входное воздействие можно представить в виде:

 

Начальные условия, определяющие положение мембраны и ее скорость в начальный момент времени:

,                                                                         (8)

 ,                                                                                  (9)

С учетом величины радиуса:

Граничные условия первого рода, определяющие перемещение мембраны на границе расчетной области:

,                                                                                      (10)

,                                                                                (11)

Граничные условия равны нулю, так как мембрана жестко закреплена на границе и перемещение отсутствует.

Сформулированная выше задача принимается при условиях:

, ,  ,                                                                    (12)

Стандартизирующая функция для данной задачи запишется следующим образом:

,                   (13)

С учетом исходных данных:

1.3 Расчет выходной величины

Определим выходную величину, как тройной интеграл по радиусу, углу и времени от произведения функции Грина на стандартизирующую функцию. Функция Грина имеет вид:

,          (14)  

где  - последовательные положительные корни уравнения ;

      =   ½ при n=0,

               1 при n0.

,                                           (15)

При нахождении значения выходной величины ограничимся значениями функции Бесселя нулевого порядка, тогда получаем, что при решении интеграла по времени вся функция остается постоянной и находим только значения с синусом, зависящим от времени.

При решении интеграла по углу получаем аналогичную ситуацию с решением внутреннего интеграла по времени.

Функция Бесселя нулевого порядка определяется последовательными положительными корнями уравнения

Приведем расчет последнего интеграла по радиусу:

На рисунке 1 представлен график, показывающий зависимость выходной величины от радиуса и времени.

Рисунок 1 – График зависимости Q(r,t) от изменения радиуса

1.4 Расчет интегральной передаточной функции

Для определения динамической характеристики построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику. Для этого определим интегральную передаточную функцию, позволяющую для конкретной точки исследуемой области построить ЛАЧХ и по ней записать аппроксимированную передаточную функцию в сосредоточенных параметрах.

Континуальная передаточная функция имеет вид:

,              (16)

После допущений таких же, как и при нахождении выходной характеристики получаем:

Найдем преобразование Лапласа от стандартизирующей функции и выделим из нее входное воздействие, а оставшуюся часть обозначим через .

Найдем интеграл по пространственным координатам упрощенной континуальной передаточной функции и :

        Тогда, выполнив переход к частотной передаточной функции, имеем:

1.5 Построение логарифмических характеристик, синтез аппроксимированной передаточной функции

Логарифмическая характеристика представлена на рисунке 2.

          Рисунок 2 – ЛАЧХ

Данную ЛАЧХ, имеющую наклоны 0 , -40 Дб/декаду, можно аппроксимировать следующей передаточной функцией:

,                                                                                         (17)

Определим параметры передаточной функции:

- постоянные времени:

; 

- коэффициент усиления:

20log k = -5

k = 1.07

Тогда аппроксимированная передаточная функция:

          2 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МАКРОУРОВНЕ

2.1 Исходные данные

На рисунке 3 представлена схема гидросистемы, а в таблице 1 – основные параметры.

Рисунок 3 – Принципиальная схема гидросистемы

Таблица 1 – Параметры гидросистемы

Наименование параметра	Обозн	Номер магистрали
		1	2	3	4	5
Диаметр, м	dтр	0,014	0,015	0,01	0,02	0,015
Длина, м	l	1,5	1	2	0,55	0,5
Толщина стенки трубопровода, м*10-4	δтр	3*10-4	3*10-4	3*10-4	3*10-4	3*10-4
Коэффициент местных сопротивлений	ζ	5	3	5,5	2	1,5
Давление потребителя, Па*106	р	0,1	0,15	0,19
Рабочая жидкость	Масло АУ ρ=860 кг/м3; υ=0,15*10-4 м2/с; Ес=1,7*108 Па
Материал трубопровода	Латунь Ес=9*1010 Па
Коэф-т потерь на трение при турбулентном потоке	λт=0,028
Номер схемы	12