Функции нескольких переменных. Формула Тейлора

Страницы работы

17 страниц (Word-файл)

Содержание работы

10   ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ  ПЕРЕМЕННЫХ (продолжение)

10.1  Формула Тейлора

Мы научились заменять полное приращение функции её дифференциалом 1–го порядка:

f(x0 +Dx, y0 +Dy) –  f(x0, y0) » df(x0, y0).

Обозначая    можно записать это так:

Но это приближение самое грубое, линейное. Уточнением и обобщением этой формулы является формула  Тейлора.

Теорема 1. Пусть функция f(x,y) имеет в окрестности Ueточки (xo,yo) непрерывные частные производные до  (n+1)–го порядка включительно. Тогда для любой точки  (x,y) из  Ue справедлива формула Тейлора:

, где  значения  дифференциалов вычисляются для приращений   , а остаточный член  rn  можно записать в форме Лагранжа:

(c1, c2) – точка на отрезке, соединяющем точки  (xo,yo)   и   (x,y) .

Доказательство. Здесь читателю полезно вспомнить формулу Тейлора для функций одной переменной, подробно изученную в разделе 5.3. Во–первых, сейчас мы будем её применять, а во–вторых она просто похожа, аналогична формуле, рассматриваемой здесь.

Заметим, что  "tÎ[0,1]  точка  лежит на прямолинейном отрезке, соединяющем точки (xo,yo), (x,y).  (Не забывайте: ).

Рассмотрим функцию   Это суперпозиция  двух линейных функций  одной переменной t и функции f(x,y). Из теоремы  о дифференцировании сложной функций (теорема 13 из 9.4.2) следует, что F(t) является n+1 раз непрерывно дифференцируемой (т.е. её (n+1)–я производная является непрерывной функцией). Значит,  для   F(t) справедлива формула Тейлора (см. 5.3):

В частности, при  t= 1 получаем:

Используя определение функции F(t) , убедимся, что это и есть та формула, которую требуется доказать.  Действительно,     

F(0)= f(xo,yo).

Для вычисления   F¢(t) пользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

.

Аналогично находим 

,

.

По этим же правилам вычисляются и остальные слагаемые в формуле. При вычислении остаточного члена подставляем не  t = 0,а  t = c,  cÎ[0, 1] . В результате получим дифференциал (n+1)–го порядка dn+1f не в точке (xo,yo), а в точке  Теорема  доказана.

Замечание. Остаточный член  rn  можно записать в другой форме – форме Пеано:

, т.е.  rn  является бесконечно малой более высокого порядка, чем n–я степень модуля полного приращения переменных . Чтобы это доказать, используем формулу для дифференциала  n–го порядка  (см. 9.4.3):

.

Пользуясь «неравенством треугольника», оценим модуль  rn :

.

Так как ясно, что   ,  то

.

Докажем, что функция, заключённая в квадратные скобки, ограничена. Для этого нам придётся уменьшить нашу окрестность Ue точки (xo,yo) – рассмотреть, например, замкнутый круг  радиусом  с центром в точке (xo,yo). Все частные производные , по условию, непрерывны, а значит ограничены на компактном множестве K (теорема 9 из 9.3). Теперь ясно, что существует число  M такое, что при малых  

.

Следовательно,   .    Значит

.

Правая часть стремится к  0 при  ,  поэтому

.

Формула Тейлора для более общего случая функции  k  переменных записывается (и доказывается)  аналогично.   Если  в  некоторой  окрестности  точки   PoÎRk  функция          f= f(x1, x2, ..., xk) имеет непрерывные частные производные до (n+1)–го порядка включительно, то для любой точки  P из этой окрестности

причём    .

10.2  Экстремумы функций нескольких переменных

Пусть  f= f(x1,x2,...,xn)– функция n переменных, определённая на множестве DÍRn.Пусть  Po – внутренняя точка множества D. Точка Po называется точкой локального  максимума  функции  f,  если существует окрестность  Uэтой точки, такая, что

"PÎU     f(P)£  f(Po).

Аналогично определяется точка локального минимума:

Po – точка локального минимума    Û$U = U(Po): "PÎU    f(P) ³ f(Po).

Если в определениях заменить неравенства на строгие, то получим определения строгих  локальных максимумов и минимумов.

Нахождение экстремумов (максимумов, минимумов) – наиболее важный элемент в исследовании функции. Поэтому мы подробно рассмотрим  эту задачу.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если Po– точка локального экстремума функции  f ,  и в этой точке существует частная производная    по какой–либо из переменных, то 

Доказательство. Пусть  Po = (xo1, xo2, ..., xon).Зафиксируем у функции f значения всех переменных, кроме xi . Получим функцию одной переменной:

f(x01, ..., x0i1, xi, x0i+1, ..., x0n).

Из условия следует, что при  xi = x0i  эта функция имеет экстремум. Значит, по теореме Ферма (см 5.1), её производная равна 0. Но эта производная, по определению, и есть частная производная . Следовательно,

Следствие.Если функция f дифференцируема в точке экстремума P0 , то все её частные производные в этой точке равны  0, а значит  df(P0)º0.

Похожие материалы

Информация о работе