Математика \ Математический анализ

Функции нескольких переменных. Формула Тейлора, страница 5

Теорема 6. Пусть уравнение F(x,y)= 0 определяет в окрестности точки  (x0, y0) неявную функцию  y= y(x).  Пусть   непрерывны в этой окрестности, .  Тогда функция  y = y(x) дифференцируема, причём

.

Доказательство.  Дадим переменной х приращение . Тогда функция y(x) получит приращение :

Рассмотрим соответствующее , приращение функции  F(x,y). Так как F(x0,y0)= 0, то

.

В любой точке х рассматриваемой окрестности   F(x, y(x))= 0, поэтому . Значит, . Так как частные производные функции F(x, y) непрерывны, то приращение   можно (теорема 12,   9.4.2) записать в виде:

,

причём  lim e1 = lim e2 = 0при  .    Отсюда следует, что  т.е. . Переходя к пределу при  ,  получим то, что требуется:  .

Пример 5. Найти производную функции  y= y(x),  заданной неявно уравнением    в окрестности точки  (2, –3).

Решение. Находим частные производные функции   :

Так как , то неявная функция определена, и её производная .     В частности,     

Замечание. В этом примере функцию  y= y(x)можно задать явно:

,     .

Теперь её производная вычисляется по обычным правилам:

.

Однако первый способ потребовал меньше вычислений. А иногда перейти к явному заданию невозможно.

Пример 6.  Найти производную     функции,  заданной  в окрестности точки (0, p)уравнением   cos(x+y)+3x+y = p–1.

Решение.     Здесь   нельзя   выразить    y    через    x    явно.      Пусть    F(x, y)  =   = cos(x + y) + 3x + y – p+ 1.   Тогда     F(0, p) = 0,    а   частная    производная

. Значит, по теореме 5, в окрестности точки  x = 0 определена неявная функция. Так как  ,  то её производная в точке  x = 0  равна:   

Функция нескольких переменных тоже может быть задана неявно. Условия существования такой функции и формулы для её частных производных аналогичны рассмотренным выше, приведём их без доказательства.

Теорема 7. Пусть в окрестности точки P0(x01,x02,...,x0n,y0) пространства Rn+1 функция F(x1,...,xn,y) и её первые частные производные непрерывны. Если  F(P0) = 0,  а , то равенство  F(x1,...,xn,y) = 0  задаёт в окрестности точки (x01,...,x0n) функцию  y = y(x1,...,xn),  причём её частные производные можно вычислить по формулам:

Рассмотрим теперь вопрос о системе неявных функций.  По определению, система равенств

                                                                                              (*)

неявно задаёт функции

если эти функции  j1, ..., jm   определены на некоторой области   UÍRn ,   причём

"(x1,...,xn)ÎU,  "i= 1,...,mfi(x1,...,xn,j1(x1,...,xn),j2(x1,...,xn),...,jm(x1,...,xn)) = 0.

Сформулируем  условия,  при  которых  система  (*)  определяет неявные функции y1, ..., ym . Для этого нам потребуется понятие якобиана.  Якобианом (или определителем Якоби) системы функций

f1(x1,...,xn,y1,...,ym), ..., fm(x1,...,xn,y1,...,ym)

по переменным  y1, ..., ym  называется определитель

 .

Конечно, якобиан является функцией от переменных  x1, ..., xn, y1, ..., ym.

Теорема 8. Пусть в системе  (*)  функции  f1, ..., fm и их частные производные первого порядка по всем переменным непрерывны в некоторой окрестности  E точки P0(x01,...,x0n,y01,...,y0m),  причём fi(P0)= 0("i). Пусть выполнено условие: .   Тогда система   (*)  неявно задаёт функции

y1 = j1(x1,...,xn),   y2 = j2(x1,...,xn), ..., ym = jm(x1,...,xn)

на некоторой окрестности  UÍRn точки (x01,...,x0n), причём

ji(x01, ..., x0n)= y0i ,    i= 1, 2, ..., m.

Доказательство рассмотрим только для частного случая, когда в системе (*) все равенства  линейны  относительно   y1, ..., ym.  Подробнее, пусть система  (*)  имеет вид:

, где  aij(x1,...,xn),ak(x1,...,xn)–непрерывные функции. Заметим, что aij(x1, ..., xn)= , т.е.  определитель системы является якобианом:

.

Скачать файл