Проблема устойчивости нелинейных систем и методы её решения. Постановка общей задачи исследования устойчивости движений динамических систем по Ляпунову, страница 3

Очевидно, если ограничить реальные координаты их допустимыми отклонениями от рабочей точки (при линеаризации методом  касательных), то получим небольшие отклонения , и других переменных, которые возможны в качестве начальных отклонений (вариаций) ε_i  при решении уравнений (4). Следовательно, будет мала и область изменения величины ε, определяющей условие устойчивости (по Ляпунову) движений (7) в пространстве G[y_i(t)]. При этом получим условие устойчивости динамических процессов НСАУ "в малом".

Если вариации всех переменных ограничить реальными величинами (например: Ф_макс=1,2Ф_ном, М_макс =(2 - 4)М_ном, U_макс=(1,2 - 1,4) U_номи т.п.), то пространство G[y_i(t)]будет ограничено иными пределами, также как и величины "ε" и "δ". Тогда исследуем устойчивость динамических процессов "в большом". Расширяя изменения переменных и пространство G[y_i(t)] до разумных пределов, получим возможность исследовать устойчивость динамических процессов "в целом".

РЕЗЮМЕ. Часто повторяют, что условия устойчивости определяют "работоспособность" САУ. Неустойчивая система - неработоспособна. При этом ссылаются на характер переходного процесса системы (в системе), указывая, что этот процесс должен быть установившимся, а не расходящимся. Но переходный процесс определяется решением неоднородного дифференциального уравнения для математической модели САУ. Как же это увязывается с понятием устойчивости по Ляпунову, где исследуются однородные уравнения?

Решая такое уравнение, получают две составляющих переходного процесса свободную и вынужденную. Вынужденная составляющая есть частное решение неоднородного уравнения, записанного на основе выражения (1) в виде:

,                                                                                                                                            (8)

где g(t) внешнее воздействие на САУ.

Если принять g(t) = 1(t), тогда частное решение (8) будет:

Свободную составляющую переходного процесса получают из решения однородного уравнения, приравняв правую часть выражения (8) к нулю:

.                                                                                                                                                   (9)                                            

Таким образом, выражение (9) сводит задачу исследования устойчивости переходного процесса модели САУ к решению уравнения (1) и рассмотрению проблемы устойчивости в смысле Ляпунова. Следует только иметь в виду, что для замкнутой астатической САУ,  поэтому 1(t), а для замкнутой статической САУ, где k коэффициент передачи разомкнутого контура управления. Поэтому

Прямой метод А.М. Ляпунова исследования

устойчивости движения  в динамических системах

Метод Ляпунова называют "прямым", так как рассматриваются динамические процессы системы во временной области.

Метод позволяет исследовать устойчивость системы  с помощью специально подобранных «пробных» скалярных V-функций (так называемых функций Ляпунова), не прибегая к решению самих дифференциальных уравнений системы.

Движение системы (динамический процесс системы) будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям:

·  линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

·  функция Ляпунова неотрицательна;

·  скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке траектории динамического процесса отрицательно.

В самом деле, скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любом точке своим знаком показывает направление вектора скорости  относительно линий равного уровня функции Ляпунова. При знаке "минус"  вектор скорости направлен внутрь линии равного уровня, в сторону убывания функции Ляпунова, к началу координат. При противоположном знаке – наоборот. Естественно, в первом случае система устойчива. Во втором – нет.

Теорема (Эскиз формулировки). Пусть найдется такая функция , что ее производная  вдоль траектории системы  отрицательна  . Тогда система будет устойчивой.

Определяют знакоопределенные и знакопостоянные V-функции.