Движения плоскости. Простейшие виды движений плоскости. Параллельный перенос (вектор). Скользящее отражение

Страницы работы

Содержание работы

                                                  Глава 1.


                              Движения    плоскости

 


Понятие «движение» (либо «перемещение», либо «наложение») возникает в элементарной геометрии при попытке математически строго объяснить, например, что такое «равенство фигур». В книге «Начала» (IV в. до Р.Х.) Евклид доказывает «Предложение 4» (известное нам как «первый признак равенства треугольников»), опираясь на свою седьмую аксиому («И совмещающиеся друг с другом равны между собой»). Вот фрагмент (в современной редакции) из этого доказательства (по книге «Начала Евклида» /Перевод с греческого Д.Д.Мордухай-Болтовского. М.-Л.: 1950.):

«…Действительно, если треугольник АВС совмещается с треугольником DEF и кладутся точка А на точку D, а прямая  АВ на DE, то и точка В совместится с Е вследствие того, что АВ равна DE; а так как АВ совместилось с DE, то и прямая АС совместится с DF вследствие того, что угол ВАС равен EDF; так что и точка С  совместится с точкой F вследствие того, что АС тоже равно DF …»  

Рис. 1

(Далее Евклид объясняет неизбежность совмещения сторон ВС и ЕF , иначе возникнет противоречие с его первым постулатом;  мы бы сказали, что «иначе через две различные точки Е и F пройдут две различные прямые»)  «…так что и весь треугольник АВС совместится со всем треугольником DEF и будет ему равен…»

Постараемся разобраться: что такое «совмещать»? Видимо, не следует полагать право «совмещать фигуры» как бы заранее данным, ведь речь не идет о треугольных предметах, которые можно брать руками. Надо признать, что «мысленное совмещение» есть поточечное отображение одной фигуры на другую, при котором сохраняются расстояния между парами точек в их образах. Мы будем называть это «движением» плоскости, при котором, в частности, точки А, В, С  отобразились соответственно в D, E, F .

Определение. Движением называют такое преобразование плоскости, при  котором для любых двух точек  А1 и В1 их образы А2 и В2 удовлетворяют условию   | А1В1| = | А2В2 |, то есть при движении сохраняются расстояния в их образах.

Термин «движение» в геометрии понимается не механически (во времени),  а как отображение исходного состояния в  конечное (мгновенно). Образно говоря, в киноленте событий оставляют лишь первый и последний кадры.

    § 1. 1  Простейшие  виды  движений  плоскости

1). Осевая симметрия. Обозначение:  Sl  (первая буква слова symmetry).

Определение. Осевая симметрия, задаваемая прямой l (осью симметрии) – это преобразование плоскости , для которого всякая точка М1 получает образ М2  так , что прямая l – серединный перпендикуляр к отрезку  М1М2.

Осевую симметрию часто называют зеркальной, потому что полуплоскость как бы отражается в зеркале l . В «зазеркалье» левое становится правым.

 Неподвижными при симметриии останутся лишь точки оси  l .

                                        

Замечание. Осевая симметрия является движением.

Докажем это свойство с применением координат. Введем ось  Ох    декартовой системы  вдоль оси симметрии. Пусть образами точек М1(x1, y1) и К1(x3, y3) стали точки М2(x2, y2) и К2(x4, y4) (Рис.2). Зависимость между «новыми» (x2, y2)  и «старыми» (x1, y1) значениями координат точки М характеризуется тем, что «икс сохраняется, а игрек меняет знак», что выражается формулами:

Рис. 2

                   ( 1 )

Система (1) дает правило пересчета координат для образов при осевой симметрии. Зависимость (1) называют аналитическим представлением  симметрии.

В силу выявленной закономерности  ( 1 )  используем координаты точек М1,  К1  и  их образов  М2 , К2   для  сравнения  расстояний

     и         , убеждаясь в их равенстве. Значит,  симметрия является движением.

Замечание.   Зеркально симметричные фигуры имеют разную ориентацию

Рис. 3

Математически это можно описать, например, с помощью  вращения векторов до их совмещения. В «зеркальных» треугольниках (Рис.3) поворот  А1С1 → А1В1  происходит  против  часовой   стрелки ,  а  поворот А2С2 → А2В2  -  по часовой стрелке  .

2).Параллельный перенос (вектор).  Обозначения:  , .

Определение. Параллельный перенос (либо вектор), задаваемый упорядоченной парой точек А, В – это преобразование плоскости, для которого всякая точка М1 получает образ М2 так, что лучи АВ  и  М1М2 сонаправлены, а отрезки АВ  и  М1М2 - равны.

Иначе говоря, все точки плоскости переносятся на одинаковое расстояние в общем направлении.

 Неподвижных точек при параллельном переносе нет.

Исключение составляет лишь нулевой вектор , равносильный тождественному преобразованию плоскости.

Замечание. Параллельный перенос является движением.

Рис.4

Доказательство очевидное: между концами двух равных направленных отрезков расстояние такое же, как и между их началами, потому что они образуют параллелограмм (Рис.4).

Формулы пересчета координат при параллельном переносе

            (2)

говорят о том, что абсциссы всех точек

меняются на одинаковую величину  a, а ординаты – на b. То есть имеем вектор  с координатами (a, b).

       3).Скользящее отражение (переносная симметрия).Обозначение: , .

Определение. Скользящее отражение – это композиция осевой симметрии Sl и параллельного переноса   при условии, что вектор   и ось симметрии lпараллельны.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
369 Kb
Скачали:
0