Отношение делимости в кольцах. Понятие делимости и его основные свойства. Изучение многочленов из кольца

Пусть S_i - некоторое подполе в S, содержащее кольцо R, . Поле S_i вместе с любыми двумя элементами a и b, , содержит элемент . В частности, поскольку , то  содержит все дроби , где , , .

Итак, нами доказана следующая лемма:

Лемма 1. Любое подполе S₁ поля S, содержащее ненулевое подкольцо R, содержит все дроби , где , ,  (точнее говоря, все элементы x из S такие, что ).

Обозначим через P множество всех элементов поля S, представимых в виде . Мы докажем сейчас, что P - подполе в S. Так как любое подполе, содержащее R, содержит и P, то отсюда будет следовать, что P - наименьшее подполе в S, содержащее кольцо R. Это поле называют полем отношений кольца R в поле S.

Лемма 2. Пусть R - ненулевое подкольцо поля S. Подмножество P в S, состоящее из элементов, представимых в виде дробей , , , , является полем.

Доказательство. Пусть , , причем , . Покажем, что в S справедливы следующие правила действий над дробями:

,                                    (9)

,                                           (10)

.                                           (11)

В самом деле,  

. Равенство (9) доказано.

Равенство (10) вытекает из того, что  .

Пусть . Тогда , и поэтому  тоже дробь. При этом  , где e - единица поля S. Итак, операции сложения, умножения, а также деления на отличный от нуля элемент не выводят за пределы множества P, и поэтому P - поле.

Выясним теперь, при каком условии дроби  и  выражают один и тот же элемент поля P, т.е. при каком условии . Для этого заметим, что   и , и потому равенство  имеет место тогда и только тогда, когда .

Но это равенство равносильно равенству . Итак,  в том и только в том случае, когда . В частности, для любого  и любой дроби  имеем  (так как ).

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема 6. Если R - подкольцо поля S, то наименьшее подполе в S, содержащее R, состоит из дробей , , , . Дроби  и  равны в том и только в том случае, когда .

В теореме 6 мы предполагали, что кольцо R является подкольцом поля S. Это условие на самом деле излишне. Мы докажем сейчас, что любая область целостности является подкольцом некоторого поля.

Теорема 7. Любая область целостности R с единицей является подкольцом некоторого поля P.

Доказательство. Обозначим через M множество всех дробей, т.е. символов вида , где  (здесь черта уже не является знаком деления, поскольку в R деление, вообще говоря, не определено).

Во множестве таких дробей введем операцию сложения и умножения по формулам (9) и (10): , , и положим при  .

Введем во множество дробей отношение эквивалентности, положив , если . Покажем, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.

а) Рефлексивность отношения вытекает из того, что , и потому .

б) Если , то . Но тогда , и поэтому . Значит, отношение ~ симметрично.

в) Докажем, что отношение ~ транзитивно. Пусть  и . Тогда  и . Умножим обе части равенства  на g. Получим . Так как , то отсюда следует, что , . Но R - область целостности, и . Значит, , т.е. . Итак, из  и  следует, что , т.е. отношение ~ транзитивно.

Мы доказали, что отношение ~ рефлексивно, симметрично и транзитивно, а потому является отношением эквивалентности. Поэтому множество дробей M распадается на классы эквивалентных дробей. Обозначим через P₁ множество классов эквивалентных дробей (таким образом, элементами P₁ являются не отдельные дроби, а классы эквивалентных дробей).

Определим сложение классов следующим образом:

.                                         (12)

Иными словами, чтобы сложить классы, содержащие соответственно дроби  и , надо сложить эти дроби по формуле (9) и взять класс дробей, содержащих эту сумму. Аналогично определяется умножение классов дробей:

.                                             (13)

Надо показать, что эти определения не зависят от выбора представителей в классах. Иными словами, надо показать, что если  и , то , . Но если  и , то  и . Умножим обе части первого из этих равенств на , а второго на  и сложим:  , т.е. . Это равенство и значит, что . Точно также, перемножая равенства , , получаем . Это значит, что . Таким образом, введенные определения действий над классами дробей не зависят от выбора дробей в классах.

Из коммутативности сложения и умножения в R следует коммутативность сложения и умножения дробей: , . В самом деле,  , , а дроби  и  равны, так как   и . Точно также , , а =, так как , .

Из коммутативности сложения и умножения дробей вытекает, что сложение и умножение классов дробей обладает тем же свойством. Точно также доказывается, что эти операции ассоциативны, а умножение дистрибутивно относительно сложения.