Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных, страница 7

3.92.  Знайдзіце: 1) ;     2) ;        3) ; 4) ;     5) , ,; 6) , 7) ;            8) ;      9) ; 10) ; 11) ;            12) ; 13) ,; 14) ,, ; 15); 16) ;  17) ;               18) ; 19) ;            20) ;                  21) ; 22) ; 23) .

3.93.  Знайдзіце ліміты, папярэдне пераўтвараючы выразы да патрэбнага выгляду 1); 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

3.94.  Знайдзіце 1 ); 2) ; 3) ;
4) ,, .

3.95.  Знайдзіце ліміты пры дапамозе формулы : 1) ;            2) ;         3) ;  4) ; 5) ;    6) ;  7) ;      8) ; 9) ; 10) ;   11) ;  12) ; 13) ;      14) ;     15) ; 16)

3.96.  Пакажыце, што наступныя ліміты не могуць быць вылічаны з дапамогай правіла Лёпіталя. Знайдзіце гэтыя ліміты 1)  2)  3)  4)

3.6. ФОРМУЛА ТЭЙЛАРА

Няхай функцыя  у ваколлі пункта  мае вытворныя да -га парадку ўключна і няхай існуе . Тады мае месца формула Тэйлара:

                              (3.22)

Паліном  называецца паліномам Тэйлара функцыі  у пункце , функцыя  называецца рэшткавым складнікам  - га парадку формулы Тэйлара. Пры дадзеных умовах рэшткавы складнік можна запісаць у форме Пэана . Калі = 0, то формула Тэйлара называецца формулай Маклёрэна.

Формулы Маклёрэна для асноўных элементарных функцый:

Калі функцыя  у ваколлі пункта  мае вытворныя да  - га парадку ўключна, то для кожнага пункта  з дадзенага ваколля знойдзецца паміж пунктамі  і  пункт  такі, што  Такая форма рэшткавага складніка носіць назву рэшткавага складніка ў форме Лягранжа.

Прыклад 1. Раскласці паводле формулы Маклёрэна функцыю  з дакладнасцю да .

►Для развязання задачы дастасуем формулу (3.22) пры =0. Паколькі функцыя  няцотная, то дастаткова знайсці вытворныя функцыі  да пятага парадка уключна:

     

Адсюль маем        

Таму

Прыклад 2. Раскласці паводле формулы Маклёрэна функцыю  з дакладнасцю да .

►Для развязання задачы дастасуем вядомыя расклады функцый , . Расклад сінуса дастаткова ўзяць з дакладнасцю да , таму што  

Паколькі ,  і  для , то ў раскладзе функцыі , дзе , дастаткова ўзяць чатыры першыя складнікі:

Адсюль маем .◄

Прыклад 3. Знайсці

►Раскладзем функцыі   і  паводле формулы Маклёрэна   Адсюль

  ◄

Прыклад 4. З дакладнасцю да  вылічыць .

►Паводле формулы Маклёрэна для сінуса маем  З формулы Лягранжа для рэшткавага складніка вынікае, што  З няроўнасці  маем, што . Каб вылічыць  з неабходнай дакладнасцю, у формуле Маклёрэна дастаткова ўзяць першыя тры складнікі ◄

ЗАДАЧЫ

3.97.  Раскладзіце паводле формулы Маклёрэна з дакладнасцю да  наступныя функцыі: 1)  2)  3)   4)     5)  6)

3.98.  Раскладзіце паводле формулы Тэйлара з дакладнасцю да  у ваколлі пункта  наступныя функцыі: 1)  ;  2) ; 3)  ;               4)  .

3.99.  Знайдзіце першыя  ненулявых складнікаў раскладу паводле формулы Маклёрэна наступных функцый: 1)  2)  3)  4)  5)  6)

3.100.  Знайдзіце расклад паводле формулы Маклёрэна наступных функцый з дадзеным рэшткавым складнікам : 1);   2) ;   3) ;   4) ; 5); 6) ; 7) ; 8).

3.101.  Раскладзіце паводле формулы Тэйлара ў ваколлі пункта  з дадзеным рэшткавым складнікам : 1)     2)  – няцотны; 3) 4) ;    5)                           6)

3.102.  Раскладзіце функцыю  паводле формулы Маклёрэна. Для гэтага спачатку знайдзіце расклад функцыі .

3.103.  Раскладзіце функцыю  паводле формулы Маклёрэна. Для гэтага спачатку знайдзіце расклад функцыі .

3.104.  Раскладзіце функцыю  паводле формулы Маклёрэна. Для гэтага спачатку знайдзіце расклад функцыі .

3.105.  Знайдзіце расклад наступных функцый паводле формулы Маклё-рэна з дадзеным рэшткавым складнікам:
1) ;          2) , ;
3) , ;   4) , .

3.106.  Знайдзіце абсалютную хібнасць набліжаных формул 1) ; 2) ;
3) ;          4)  ; 5)   .