Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных, страница 5

ўзяць . Тады

, .

Падставіўшы ўсё гэта ў формулу (3.8), знаходзім

.◄

ЗАДАЧЫ

3.59. Для функцыі знайдзіце , і параўнайце іх, калі: 1) ; 2) ; 3) .

3.60. Раўнанне руху задаецца формулай , дзе зададзена ў секундах, а – у метрах. Для моманту часу = 2 с. Знайдзіце – прырост шляху і – дыферэнцыял шляху і параўнайце іх, калі: 1) с; 2) с; 3) с.

3.61. Пакажыце, што пры = 1 прырост функцыі нельга падаць у выглядзе (3.5) ні пры якім А, таму пры не з’яўляецца дыферэнцавальнай. Вытлумачце гэты вынік геаметрычна.

3.62. Няхай зададзена дыферэнцавальная ў пункце функцыя , і няхай у пункце зададзены прырост . Знайдзіце у пункце , калі галоўная лінейная частка прыросту функцыі ў пункце , што адпавядае прыросту аргумента , стала роўнай 0,8.

3.63. Няхай , дзе . Якія з наступных роўнасцяў будуць правільнымі: 1) ; 2) ; 3) ?

3.64. Знайдзіце дыферэнцыял функцыі : 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.65. Знайдзіце дыферэнцыял функцыі у зададзеным пункце: 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , , ; 7) , , ; 8) , , .

3.66. Пакажыце, што функцыя праўдзіць роў-насць .

3.67. Пакажыце, што функцыя , якая задаецца няяўна раўнаннем , праўдзіць роўнасць .

3.68. Няхай ёсць дыферэнцавальныя функцыі ад . Знайдзіце дыферэнцыял функцыі ( лічацца вядомымі), калі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

3.69. Дакажыце набліжаную формулу , калі значна менш за . З дапамогай гэтай формулы вылічыце набліжана: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.70. Вылічыце набліжанае значэнне: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , калі = 0,15.

3.71. Перыяд вагання ківача (у секундах) вызначаецца паводле формулы , дзе – даўжыня ківача (у сантыметрах) і . Маецца ківач з даўжынёй =20 см. На колькі трэба змяніць яго даўжыню, каб перыяд павялічыўся на 0,05 с?

3.72. Для вызначэння паскарэння сілы цяжару з дапамогай вагання ківа-ча выкарыстоўваюць формулу , дзе – даўжыня ківача, – поўны перыяд ваганняў. Як адаб’ецца на значэнні рэлятыўная хібнасць пры вылічэнні: а) даўжыні ; б) перыяду ?

3.4. ВЫТВОРНЫЯ І ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЫ ВЫШЭЙШЫХ ПАРАДКАЎ.

Калі існуе вытворная функцыі , то яе называюць вытворнай другога парадку функцыі і абазначаюць . Аналагічна вытворная -га парадку вызначаецца праз вытворную функцыі . Такім чынам, , = 2, 3, … .