Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных, страница 6

                     .                                                 (3.18)

►Знойдзем першы дыферэнцыял ад абедзвюх частак роўнасці (3.18):

                   ,                                          (3.19)

а затым дыферэнцыял ад (3.19):

.                        (3.20)

Зменная  незалежная, таму  . Тады з (3.20) маем

                                       (3.21)

З (3.19) знойдзем  і падставім у (3.21). Канчаткова маем

. ◄

ЗАДАЧЫ

3.73.  Знайдзіце вытворную другога парадку ад наступных функцый: 1) ;         2) ; 3) ; 4) ;          5) ;       6) ;  7) ; 8) ;            9) ;    11) ;   13) ;   14)  10) ;  12) ;  .

3.74.  Пункт рухаецца прамалінейна паводле закону . Знайдзіце паскарэнне праз 2 с ад пачатку руху.

3.75.  Знайдзіце велічыню сілы, што дзейнічае на пункт з масай , у момант часу =1, калі пункт рухаецца паводле закону .

3.76.  Пакажыце, што наступныя функцыі праўдзяць дадзеныя раўнанні: 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , .

3.77.  Вылічыце дыферэнцыялы другога парадку ў дадзеным пункце  для наступных функцый, калі  - незалежная зменная: 1) , = 1;            2) , = 0; 3) , ;  4) , = 1;

5) , =6;          6) , .

3.78.  Знайдзіце  для функцый, зададзеных параметрычна: 1) , ;  2) , ; 3) , ;        4) , ; 5) , ;       6) ,  ; 7) , ; .

3.79.  Знайдзіце  і , калі  і  – вядомыя функцыі ад : 1) ;          2) ;      3) ; 4) ;  5) ;  6) .

3.80.  Знайдзіце  для функцый, зададзеных няяўна: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;  5) .

3.81.  Знайдзіце  для наступных функцый: 1) ; 2) ;    3) ;        4) ; 5) ;        6) ; 7) ; 8)...

3.82.  Знайдзіце вытворную зададзенага парадку  ў пункце  для наступных функцый: 1) , = 10 , = 2 ;    2) , = 50 , = 0 ; 3)  , = 3 , = 1 ;  4) , = 100 , = 0 ; 5)  , = 20 , = 1 ;  6)  , = 6, = 0.

3.83.  Знайдзіце  зададзенага парадку  калі  ёсць незалежная змен-ная: 1)  , ; 2)  , ; 3) , ; 4) , ;  5) , .

3.84.  Знайдзіце  (, , , , , , ,  – зададзены): 1)  ;  2) .

3.85.  Знайдзіце  функцыі , зададзенай няяўна: 1) ;  2) .

3.86.  Вызначце, якога парадку вытворныя існуюць у дадзеных функцый у пункце =0: 1) ;   2)    3)  4)   5) 

3.87.  Атрымайце формулу для другой вытворнай функцыі .

3.88.  Калі функцыя мае першую вытворную , то яна мае і  вытворныя ўсіх парадкаў. Дакажыце гэта.

3.89.  Калі функцыя мае -ю вытворную і , то яна мае і вытворныя ўсіх парадкаў. Дакажыце гэта.

3.90.  Функцыя  двойчы дыферэнцавальная і                             , дзе  і  маюць вытворныя ўсіх парадкаў. Дакажыце, што функцыя      мае вытворныя ўсіх парадкаў.

3.91.  Функцыя   раз дыферэнцавальная і , . Дакажыце , што функцыя  мае вытворныя ўсіх парадкаў.

3.5. ПРАВІЛА ЛЁПІТАЛЯ

Няхай функцыі  і  дыферэнцавальныя ў ваколлі пункта , за выключэннем, можа быць, пункта , прычым 1) , 2)  ,   пры , 3) існуе . Тады існуе

.

Прыклад 1. Знайсці .

►У дадзеным выпадку маем нявызначанасць тыпу . Для функцый  і  выкананы ўсе ўмовы правіла Лапіталя ў ваколлі пункта . Таму , і зноў атрымліваем нявызначанасць тыпу . Для функцый, якія знаходзяцца ў назоўніку і лічніку апошняга выразу, таксама выкананы
ўсе ўмовы правіла Лёпіталя. Дастасуем яго яшчэ раз і атрымаем . ◄

Каб дастасаваць правіла Лёпіталя да нявызначанасцяў тыпу  , , , ,  неабходна іх пераўтварыць да нявызначанасці тыпу  або .

Прыклад 2. Знайсці .

►Маем нявызначанасць тыпу . З формулы  і непарыўнасці функціі  пры ўсіх w атрымаем . Дастасуем правіла Лёпіталя да атрыманага ліміту, які знаходзіцца ў паказніку . Адкуль . ◄

ЗАДАЧЫ