Кривые второго порядка (квадрики). Эллипс и его простейшие свойства. Каноническое уравнение эллипса, страница 23

Определение. Ненулевой вектор называется направляющим вектором плоскости, если он ей параллелен или лежит в ней.

Пусть неколлинеарные векторы  и  - направляюще векторы плоскости α (рис. 6.2). Тогда любой вектор, компланарный с ними, тоже является направляющим для этой плоскости, так как все три вектора, если их построить из одной точки, располагаются в плоскости, параллельной α. Но любой вектор, компланарный векторам  и , может быть разложен на составляющие по этим векторам (см. § 2.4, а также § 5.1). Поэтому все направляющие векторы плоскости α можно представить в виде , где .

Точка плоскости и два ее направляющих вектора определяют плоскость. Поэтому следующая задача имеет единственное решение.

Задача 2. Найти уравнение плоскости α по точке  и неколлинеарным направляющим векторам  и .

Решение. Для наглядности векторы  и  построим из одной точки А, тогда они расположатся в плоскости α (рис. 6.3). Пусть М(х, у, z) – какая-либо точка. Она принадлежит плоскости α тогда и только тогда, когда векторы , ,  компланарны. Согласно теореме § 5.2 условие компланарности этих векторов имеет вид

                                         (6.1.2)

Это и есть искомое уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам. Читателю необходимо продумать, какое значение имеет неколлинеарность направляющих векторов  и .

При тех же данных можно получить уравнение плоскости в другом виде, если воспользоваться разложением вектора  по векторам  и . Имеем: .

Отсюда:

                                                   (6.1.3)

Это – параметрические уравнения плоскости. λ и μ – переменные параметры.

Из уравнения (6.1.2) легко получается уравнение плоскости по трем точкам  не лежащим на одной прямой. Для этого достаточно записать ее уравнение по точке, например, А и двум неколлинеарным направляющим векторам, например,  и

                                      (6.1.4)

Это уравнение равносильно такому:

                                                    (6.1.5)

что можно проверить непосредственным подсчетом определителей или сведением одного к другому путем элементарных преобразований; второй путь приводит к цели быстрее.

Пример 1. Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось ординат и точку А(1, 2, 2).

Решение. Уравнение искомой плоскости находится по точке О(0, 0, 0) и направляющим векторам  и  (рис. 6.4):  или, после вычислений, .

Пример 2. Найдите уравнение плоскости, которая касается сферы  в точке А(3, -3, 2).

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что данная точка действительно лежит на сфере.

Из уравнения сферы находим ее центр С(1, -2, 4). Вектор  - нормальный вектор искомой плоскости (рис. 6.5). Поэтому ее уравнение можно найти по точке А и нормальному вектору : , откуда после упрощений получаем окончательно .

          Пример 3. Через точки А(3, 2, -2) и В(0, 1, 1) проведена плоскость перпендикулярно плоскости . Найдите ее уравнение.

Решение. Первый способ. Нормальный вектор  данной плоскости α имеет координаты (1, 1, 1). Так как и он, и искомая плоскость β перпендикулярны плоскости α (рис. 6.6), то  и, следовательно,  есть направляющий вектор плоскости β. Другой направляющий вектор этой плоскости – это вектор . Теперь уравнение искомой плоскости находится по точке А (или В) и двум направляющим векторам: . Отсюда после упрощений получаем .

Второй способ. Вектор  по определению векторного произведения (§ 5.5) перпендикулярен обоим перемножаемым векторам, поэтому  он перпендикулярен искомой плоскости β, то есть является для нее нормальным вектором. По формуле (5.7.2) .

Итак, , Вектор  нормальный вектор плоскости  β. Уравнение этой плоскости находим по точке В и нормальному вектору  (формула (6.1.1)):  или .

§ 6.2. Общее уравнение плоскости и его частные случаи