Принципи автоматичного керування та математичні моделі лінійних безперервних систем автоматичного керування, страница 5

           1.4.5. Задана система автоматичного підтримання швидкості двигуна постійного струму, принципова схема якої наведена на рис. 1.19. Скласти структурну схему і записати рівняння системи. Вважати керуючий перетворювач КП інерційною ланкою першого порядку, а двигун Д – ланкою другого порядку. Підсилювач П, тахогенератор ТГ, потенціометр зворотного зв’язку ПЗЗ – пропорційні.

                     Рисунок 1.19 – Система автоматичного підтримання швидкості

             двигуна постійного струму.

1.5 Практичне заняття 5

Математичні моделі динамічних ланок і САК

Частотні характеристики ланок і САК

Методичні вказівки

Частотні характеристики – це формули і графіки, які характеризують реакцію динамічної ланки (системи) на синусоїдну задавальну дію в режимі сталих коливань.

Частотні характеристики, як математична модель динамічних ланок і САК, грають визначну роль для оцінки властивостей САК, їх аналізу та синтезу. За їх допомогою розроблено прості та наглядні методи аналізу і синтезу систем. Тому дуже важливо без помилок і швидко будувати частотні характеристики.

Основною частотною характеристикою є амплітудно-фазова характеристика (АФХ). Вона має ще іншу назву – комплексна передатна функція (КПФ).

У загальному випадку АФХ має вигляд

                                                

    де  – поліноми, або співмножники.

Існує три форми подання АФХ:

- алгебраїчна

                                                       

     де  – відповідно дійсна і уявна частотні характеристики (поліноми);  

- показова

                                                             

     де  – відповідно амплітудно-частотна і фазочастотна характеристики;

‑ логарифмічна – це коли частотні характеристики побудовані в логарифмічному масштабі.

У цьому випадку їх називають логарифмічними частотними характеристиками (ЛЧХ).

Перевагами логарифмічних характеристик є більш вдалий масштаб, який дозволяє легко лінеаризувати відповідні характеристики і спростити побудову логарифмічних характеристик групи ланок, а також можливість заміни складніших дій (множення, ділення) простими (додавання, віднімання).

Між формами подання АФХ існує взаємо зв’язок.

У комплексній площині, якщо відомі вирази, можна побудувати

                                                     

та

                                                                  

Якщо система складається із типових ланок, а вираз для  має вигляд співмножників у чисельнику і знаменнику комплексної передатної функції, то  доцільно знаходити безпосередньо по  таким чином:                                   (1.70)

                                 

Це вкрай важливо, коли будуються логарифмічні характеристики системи, окремі ланки якої з’єднані послідовно. У цьому разі їх можна одержати, сумуючи амплітудні і фазові логарифмічні характеристики окремих ланок.

Вираз для побудови логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАЧХ) в децибелах має вигляд

                                                                          

Фазочастотна логарифмічна характеристика будується по виразу (1.69) чи по виразу (1.71).

При цьому на вертикальній осі відкладають фазу в радіанах або градусах, а по горизонталі – ω в логарифмічному масштабі. Слід обов’язково пам’ятати, що побудову асимптотичних ЛЧХ треба починати з характеристик ідеальних інтегруючих, чи  ланок що диференціюють, які мають від’ємний (чи додатний) нахил  та проходять через точку з координатами  і , де  загальний коефіцієнт підсилення розімкненої системи.

Наприклад, для  (інтегруюча ланка)

                       

При  маємо

                           

Порівнюючи (1.73) і (1.74) бачимо, що інтегруюча ланка має від’ємний нахил на декаду  

Відзначимо також, що логарифмічна фазочастотна характеристика інтегруючої ланки по (1.71)

                                                   

Після побудови інтегруючої чи ланки, що диференціює, знаходять частоти сполуки інерційних, коливальних, форсуючих і інших ланок, при яких змінюються нахили логарифмічних амплітудно-частотних характеристик і будуть ЛАЧХ системи.

Для вирішення задач цього підрозділу рекомендується використати матеріал: [1] – c. 72-94; [2] – c. 64-69; [3] – c. 24-26, 44-51; [4] – c. 37-69; [9] – c. 57-58,72-107; [10] – c. 19-24; [11] – c. 67-89, а також конспект лекцій.

1.5.1 Записати вирази для побудови АФХ, АЧХ, ЛАЧХ і ФЧХ для ланки системи, передатна функція якої

                                                            

або

                                                          

     де

Розв’язання.

У виразі (1.76) передатна функція ланки системи зображена у вигляді включених послідовно двох аперіодичних ланок першого порядку  і однієї інтегруючої, тобто у вигляді добутку співмножників.

У цьому разі краще використати для побудови АФХ, АЧХ, ЛАЧХ і ФЧХ формули (1.70) і (1.75).

Вираз для побудови амплітудно-частотної характеристики матиме вигляд

                                                      

                                             

Змінюючи частоту гармонічного сигналу від 0 до по виразам (1.78) і (1.79) будуємо АЧХ і ФЧХ ланки.

Ці вирази можна використати також для графоаналітичної побудови АФХ, тобто її годографа по точкам с координатами  і,

де    .

Для побудови ЛАЧХ вираз (1.78) є дуже зручним для логарифмування.

Вираз для

у відповідності з (1.78) матиме вигляд

                                          

Він складається із трьох асимптот 1, 2 і 3 та двох частот сполуки  та.

Шлях запису виразів для побудови АФХ, АЧХ, ФЧХ і ЛАЧХ при розв’язанні задачі з W(p)  у вигляді (1.77) буде декілька іншим, тому що передатна функція ланки (часто розімкненої складної системи) не є дріб, у якої чисельник і знаменник зображені як здобуток передатних функцій елементарних ланок, а є дріб, у якої чисельник і знаменник зображені як відношення поліномів.