Различные способы обоснования истинности предложений в начальном обучении математике, страница 4

Все рассмотренные нами способы обоснова­ния истинности предложений не считаются в математике способами доказательства, так они могут привести к ложному заключению (о причинах говорилось выше). Но мы их от­носим к способам предматематического дока­зательства, потому что они: 1) доступны и убе­дительны для младших школьников; 2) позво­ляют вооружить учащихся основами научных знаний; 3) приобщают к методам математиче­ской деятельности, поскольку используются для выдвижения гипотез; 4) их использование в начальном обучении математике готовит уча­щихся к строгим математическим доказатель­ствам.

Способы, о которых речь пойдет ниже, при­знаются в математике логически достоверными.

5. Дедуктивный вывод. В процессе дедуктивного умозаключения мысль движется от общего к частному, при этом отдельные ча­стные факты подводятся под соответствующее общее правило, закон, понятие.

Повышение теоретического уровня математи­ческих знаний младших школьников открывает широкие возможности использования дедуктивных умозаключений при обосновании ис­тинности частных суждений, при решении при­меров, задач, уравнений.

Примером одного из первых дедуктивных умозаключений в начальном обучении матема­тике является рассуждение: «2<3, потому что 2 при счете называют раньше, чем 3». С его помощью из одного общего суждения (общей посылки) и одного частного суждения (част­ной посылки) выводится новое частное суж­дение (заключение). Общая посылка: если а при счете называется раньше в, то а<в. Част­ная посылка: 2 при счете называется раньше  трех. Заключение: 2<3.

Выбор действия для решения простой ариф­метической задачи также часто обосновывает­ся дедуктивно. Приведем пример такого обо­снования при решении задачи: «В одной книге 36 страниц, а в другой — 18 страниц. Во сколько раз больше страниц в первой книге, чем во второй?»

Общая посылка: все задачи, в которых тре­буется узнать, во сколько раз одно число боль­ше другого, решаются делением.

Частная посылка: в этой задаче надо узнать, во сколько раз 36 больше, чем 18.

Заключение: для ответа на вопрос задачи надо 36 разделить на 18.

Мы привели примеры полных дедуктивных умозаключений. От учащихся, как правило, не требуют объяснения в таком развернутом ви­де. Общая посылка часто лишь подразумевает­ся, как, например, в этом рассуждении второ­классника, в котором он обосновывает истин­ность математического предложения 23*4 = 92: «23— это сумма чисел 20 и 3*20 умножить на получится 80, 3 умножить на 4, получится 80+12 = 92». Общая посылка — правило умножения сум­мы на число — в этом   рассуждении исполь­зуется лишь неявно.

Все примеры обоснования истинности пред­ложений содержат только одно умозаключение. В некоторых случаях, например при решении составного уравнения (4* b) : 10 = 236, от уча­щихся уже требуется умение построить цепоч­ку из двух дедуктивных умозаключений. Ин­тересно заметить, что при объяснении решения уравнений учитель почти всегда требует от уче­ника  произнесения  вслух  общей  посылки.

Общая   посылка:   чтобы   найти   неизвестное делимое, надо    частное    умножить на делитель.

Частная посылка: в этом уравнении неизвест­но делимое.

Заключение: 4* b = 236*10. Аналогично строится второе умозаключение уже для решения нового уравнения 4* b = 2360. Истинность заключения в дедуктивных дока­зательствах  при правильном  построении умо­заключений зависит только от истинности по­сылок, поэтому дедуктивный вывод и являет­ся основным способом математических до­казательств.

Математические доказательства представля­ют собой такую цепочку дедуктивных умоза­ключений, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений. Дедуктивные доказательства в начальном курсе математики отличаются от них как количеством звеньев в этой цепочке (одно - два звена), так и простотой своей структуры. Но ясно, что обучение таким рассуждениям готовит учащихся к строгим ло­гическим доказательствам, с одной стороны, и обеспечивает осознанность и глубину знаний — с другой. 6. Вычисление. Название этого способа говорит само за себя: истинность высказывае­мых учащимися суждений обосновывается с помощью вычислений. Проверка уравнений, ре­зультатов арифметических действий, решение неравенств методом подбора являются примерами этого способа предматематического до­казательства.

В начальной математике вычисление как способ обоснования истинности суждений ис­пользуется часто, иногда даже в ущерб разви­тию логического мышления и речи детей. Это происходит в тех случаях, когда учитель, огра­ничиваясь вычислениями, недостаточно ис­пользует возможности уроков математики длят привития учащимся навыков словесного обо­снования.

Например, обоснованием истинности предло­жений 405—205=450—250 и 7*10>70:10 мо­жет служить только вычисление.

Но совсем другой подход предполагается при выполнении заданий по сравнению значе­ний выражений вида: 56*10*4 и 56*14, где от третьеклассников в первую очередь требуется проведение дедуктивных рассуждений. Вычис­ления в этом случае играют лишь вспомогатель­ную роль, являясь своего рода подкреплением убедительности сделанного дедуктивного вы­вода.

В изолированном друг от друга виде спосо­бы предматематического доказательства при­меняются редко. Чаще всего они в одном я том же рассуждении взаимодействуют, дополняя друг друга. Это можно было обнаружить и в приведенных нами выше примерах доказа­тельств.

Таким образом, современный начальный курс математики позволяет на простых примерах познакомить учащихся с элементами математи­ческого доказательства, сознательное овладений которым способствует развитию их логическо­го мышления и успешному усвоению математи­ки в средней школе. Систематическое исполь­зование различных способов предматематиче­ского доказательства позволяет воспитывать у учащихся потребность в обосновании истинно­сти своих суждений, что является важным ка­чеством культуры мышления, необходимым в любой деятельности.