Значит, что можно сказать о значениях этихвыражений? (Они равны.)
На доске записывается математическое предложение: (4+2)*3 = 4*3+2*3.
Абстрагируясь от его конкретного содержания и анализируя только полученную запись, учащиеся под руководством учителя формулируют обобщенный вывод: «Сумму умножить на число можно двумя способами. Можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить. Можно найти значение суммы и умножить ее на число>.
Для получения этого заключения нет необходимости прибегать к вычислениям: (4+2)*3 = 6*3=18 и 4*3+2*3=12+6=18 и сравнению полученных результатов. Истинность предложения (4+2)*3=4*3+2*3 следует из сопоставления его конкретного содержания с реальной моделью этого предложения — множеством кругов (рис. 2).
Эксперимент как способ предматематического доказательства стимулирует движение мысли от конкретного к абстрактному, от единичного к общему, а потому его применение в начальном обучении математике не только приводит учащихся к открытию новых знаний, но и способствует развитию у них абстрактного мышления.
2. Неполный индуктивный вывод. Необходимое условие применения этого способа умозаключения — накопление знаний о возможно большем числе однородных, единичных фактов, в которых учащиеся с помощью анализа, сравнения, синтеза находят общее и существенное и приходят таким образом к обобщенным теоретическим значениям. Следовательно, индуктивное мышление характеризуется движением мысли от единичного, частного к общему.
Способом неполного индуктивного вывода доказывается, например,, правило 0 • а=0. Вычисляя путем перехода к сложению произведения 0*2, 0*6, 0•5, учащиеся подмечают в этих примерах существенные черты сходства:
1) во всех примерах первый множитель 0;
2) все произведения также равны 0. Синтез общего и существенного в решенных примерах приводит к обобщению: «При умножении нуля на любое число получается нуль».
В начальном обучении математике неполный индуктивный вывод тесно связан с экспериментом.
Для примера приведем фрагмент урока по теме «Вычитание числа из суммы» (учитель Г. П. Волкова, школа № 10 г. Бреста).
На доске записано выражение (5+4)—2.
Прочитайте выражение. (Из суммы чисел 5 и 4 вычесть число 2.)
Как можно найти результат? (Сначала вычислим сумму: 5+4=9, а потом из нее вычтем 2-9—2=7).
Способ вычисления учитель записывает на доске: (5+4)—2=9—2 = 7.
Сегодня мы научимся решать такие примеры другими способами. Составьте по выражению (5+4)—2 задачу о яблоках.
Одну из составленных задач: «В вазе лежало 5 красных яблок и 4 зеленых яблока. 2 яблока девочка съела. Сколько яблок осталось в вазе?» — учитель предлагает классу решить разными способами.
Как мы рассуждали, если эту задачу решили так, как записано на доске? (Сначала мы узнали, сколько всего яблок лежало в вазе, а потом нашли, сколько яблок осталось. В вазе осталось 7 яблок.)
Для нахождения Других способов решения задачи учитель предлагает учащимся практическую работу с красными и зелеными кругами, условно изображающими яблоки.
Как мы будем решать задачу, если девочка выбрала 2 красных яблока? (Из 5 красных яблок вычтем 2 и узнаем, сколько красных яблок осталось в вазе, а потом прибавим 4 зеленых яблока.)
Предложенный способ решения записывается на доске: (5+4)—2= (5—2)+4=3+4=7.
Изменится ли решение задачи, если девочка возьмет 2 зеленых яблока? (Если девочка возьмет 2 зеленых яблока, то мы сначала узнаем, сколько зеленых яблок осталось в вазе. Для этого из 4 вычтем 2, а потом прибавим остаток к 5 и ответим на вопрос задачи.)
Новый способ решения также записывается на доске: (5+4)—2=5+(4—2) =5+2=7.
Сопоставление полученных на доске записей приводит к выводу, что число из суммы можно вычитать тремя различными способами.
Сделанный вывод еще не имеет доказательной силы. Одного наблюдения для этого недостаточно. Чтобы стать убедительным, вывод должен подтвердиться в целом ряде однородных случаев. Поэтому на данном уроке аналогично была проведена работа по системе сюжетных картинок из учебника. Затем наблюдения были продолжены при решении соответствующих примеров тремя способами, только после этого был сделан индуктивный вывод.
Специфической особенностью неполного индуктивного вывода является то, что нельзя исчерпать все частные случаи, а потому всегда остается сомнение в истинности тезиса. По этой причине умозаключение, достроенное с помощью неполной индукции, не относится к способам математического доказательства. Но в начальной математике мы застрахованы от ошибок, к которым оно может привести, поскольку заранее знаем, что открываемые учащимися законы, свойства, правила достоверны (они уже получили свои строгие доказательства в математике). Поэтому неполный индуктивный вывод мы и относим к способам предматиматического доказательства (но не логического!).
С методической точки зрения этот способ имеет целый ряд достоинств: это и развитие логических операций (анализ, синтез, обобщение), и принципы и доступности в обучении, и связанная с ними познавательная активность учащихся, и радость открытия, и знакомство с широко используемым в науке исследовательским методом.
3. Измерение. Сущность этого способа предматематического доказательства состоит в сопоставлении истинности высказываемых суждений с данными, полученными в результате измерения.
Например, наблюдение различных по цвету, форме, расположению на плоскости прямоугольников приводит учащихся к предположению, что противоположные стороны любого прямоугольника равны. Это суждение требует обоснования, которое и выполняется путем измерения длин соответствующих сторон и применения неполного индуктивного вывода.
Логически достоверным способом доказательства измерение не является, ибо его результаты зависят от точности инструментов, от навыков владения ими и потому всегда приближенны.
4. Вывод по аналогии. В умозаключении по аналогии мысль движется от единичного к единичному, в результате чего осуществляется перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект. Основой для переноса служат глубокие и разносторонние знания признаков сходства и различия этих объектов.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.