Тепловые процессы формирования отливок, страница 3

Дифференциальное уравнение теплопроводсности Фурье для жидкой части отливки имеет вид:

 для 0 < х < R-x, где  – коэффициент температуропроводности жидкого металла отливки.

Но поскольку в жидком металле теплопередача происходит не только теплопроводностью, но и конвекцией, то коэффициент  следует рассматривать как некоторую эффективную температуропроводность, учитывающую теплопередачу теплопроводностью и конвекцией.

Коэффициент температуропроводности выражается

, где l – коэффициент теплопроводности; с – удельная теплоемкость; r - плотность металла.

Величину коэффициента теплопроводности в жидкой фазе представим в виде фиктивной величины, одновременно учитывающей и теплопередачу конвекцией:

, где l – определяющий размер отливки (обычно высота); a – коэффициент теплоотдачи при конвекции, определяемый из критериальных зависимостей для естественной конвекции; l_ж – коэффициент теплопроводности жидкого металла.

Для решения двух представленных дифференциальных уравнений необходимо определится с условиями однозначности: начальными и краевыми условиями.

Начальное условие, фиксирующее состояние отливки сразу после окончания заполнения, получит вид:

, где Т_зал – температура заливки металла.

Краевые условия выразим для трех границ формирующейся отливки:

1.  в центре отливки "плита" в виде исследования функции на экстремум; считаем, что на оси плиты температура максимальна во все временные периоды: , т.е. частная производная от температуры по координате равна нулю;

2.  на границе раздела твердая - жидкая фаза в виде равенства удельных тепловых потоков в жидкой и твердой фазах:

,

где x – толщина затвердевшей корки; L – удельная теплота затвердевания; r – плотность твердого металла;

3.  на наружной поверхности отливки в виде задания функции Т₀ = f(t) или в  частном случае Т₀ = const.

Сформулируем математическую модель затвердевания отливки "плита" из сплава, кристаллизующегося в некотором интервале температур Т_лик – Т_сол. Схематично температурное поле такой отливки представлено на рис. 46, где Т₁(х, t) по аналогии с предыдущей схемой представляет температуру жидкой части отливки, Т₃(х, t) – температуру твердой части отливки, а Т₂(х, t) – температуру двухфазной твердожидкой части.

Дифференциальное уравнение Фурье для твердой зоны отливки подобно предыдущему случаю записано:

 для R-x < х < R.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для жидкой зоны отливки:

 для 0 < х < R-x.

По аналогии  – эффективный коэффициент температуропроводности, учитывающий теплопередачу не только теплопроводностью, но и конвекцией.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердожидкой зоны отливки представим как уравнение с внутренними источниками тепла:

.

Суть внутренних источников тепла состоит в выделении скрытой теплоты кристаллизации в интервале температур между ликвидусом и солидусом. Если привести эту функцию к одинаковой размерности (град/с), то дифференциальное уравнение теплопроводности становится:

, где W – удельная объемная теплота кристаллизации сплава; с₂ – удельная теплоемкость сплава в интервале кристаллизации; r₂ – плотность сплава в интервале кристаллизации.

Полученное уравнение теплопроводности является неоднородным и для решения его в системе с другими дифференциальными уравнениями Фурье необходимо привести это уравнение к однородному.

Это можно сделать, если коэффициент температуропроводности а₂ представить в виде некоторого эффективного значения, в котором будет учтено выделение скрытой теплоты кристаллизации – .