Изучение численного метода интерполяции кубическими сплайнами с различными видами граничных условий, страница 2

Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования теории балок показали, что гибкая тонкая балка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть, по меньшей мере, непрерывно дифференцируемой. Это означает, что функции ϕ(x), ϕ'(x), должны быть непрерывными на отрезке [a, b] [1].

1.2 Обоснование использования кубических сплайнов

          Полезное свойство, которым обладают сплайны — это минимизация колебательного поведения. Следовательно, среди всех дважды дифференцируемых, непрерывных на интервале [a;b] функций f(x), интерполирующих заданную совокупность точек  кубический сплайн меньше всего осциллирует. Следующий результат объясняет этот феномен.
          Миминизирующее свойство кубического сплайна. Если,  —единственный кубический сплайн, которым интерполируют функцию (x), проходящий через точки  и удовлетворяющий условиям смыкания на краях , .  Тогда  

.

2 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

2.1 Интерполяционный кубический сплайн

Пусть  на  отрезке  [a, b]  имеется  таблично  заданная  функция  
а = < <…< = b. Шаг таблицы может быть непостоянным.  Постановка задачи: На отрезке [a, b] необходимо найти функцию g(x), которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. Сплайн g(x) (a,b), т.е. g(x), g'(x), g''(x) непрерывны на отрезке [a,b], график g(x) не имеет острых углов (т.к.  g'(x) непрерывна), радиус кривизны определен в каждой точке.

2. На каждом  участке g(x)  является  кубическим   полиномом  III степени, т.е. , где – коэффициенты сплайна, которые определимы из дополнительных условий:  k=( 1… n) – номер сплайна.

3. Выполняется основное условие интерполяции:
.

4. Вторая производная g''(x) удовлетворяет граничным условиям. В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Довольно  часто  используется  условие  свободных  концов  сплайнов,  а именно
g''(a) = g''(b) = 0. В  результате  построения  с  соблюдением  всех  условий  будем иметь:

Для  определения  неизвестных   используем  непрерывность g'(x). В результате получим систему для определения   с n-1 уравнением и n+1 неизвестными. Её нужно доопределить для однозначного  решения.  Дополняем  систему  граничными  условиями, например условиями свободных концов сплайна . Получаем систему n-1 уравнения с n-1 неизвестными:

В  матричном  виде  систему  можно  записать  следующим  образом: A=F, где

          Матрица А – неособенная матрица, система для определения m имеет  единственное  решение,  следовательно,  сплайн-функция  g(x) однозначно  восстанавливается,  т.е.  задача  о  нахождении  кусочно-кубической функции g(x) имеет единственное решение. Решение системы  может  быть  найдено  с  помощью  метода  прогонки  (частный случай метода Гаусса) или каким-либо другим способом [2]. 

2.2 Существование кубического сплайна

          Каждый кубический полином (x) имеет 4 неизвестные постоянные (), поэтому существует 4N коэффициентов, которые нужно найти. Неточно говоря, есть 4N степеней свободы или условий, которые должны быть точно определены. Заданные точки обеспечивают N + 1 условие, и каждое из свойств III—V обеспечивает N —1 условие. Следовательно, задаются N + 1 + 3(N —1) = 4N —2 условия. Это оставляет две степени свободы. Будем называть их ограничениями в крайних точках: они будут включать либо S′(x), либо S′′(x) в точках  и . А сейчас продолжим построение.

Так как S(x) —кусочно-кубический полином, его вторая производная S"(х) кусочно-линейна на интервале [, .]. Формула линейного интерполирования Лагранжа дает следующее представление для
 :

,

          Для  и k=0, 1,…,N-1. Интегрируя уравнение дважды, введем две постоянные интегрирования. Результат можно преобразовать так, что он примет вид