Теория электромагнитного поля. Закон Кулона. Теорема Гаусса в интегральной форме, страница 8

   Часто требуется рассчитать поле зарядов расположенных вблизи пов-ти раздела правильной формы 2-х или нескольких сред. Сложность таких расчетов состоит в том, чтобы на поверхностях раздела появляются наведенные заряды, закон распределения которых заранее не известен  в этом случае используется метод зеркальных изображений, согласно которому исходная сложная задача по расчету поля в нескольких средах сводится к эквивалентной простой задаче расчета поля в однородной среде. Поскольку при замене сред исчезает наведенные заряды, то их действия учитываются введением фиктивных зарядов. Величина знака и расположение фиктивных зарядов определяет из граничных условий исходной    задачи.

 

.

   Определим напряженность и потенциал поля в диэлектрике.

Найдем величину () такую, чтобы тангенциальная составляющая напряженности поля на границе раздела (оси у) была бы равна 0.

   Напряженность точки Р принадлежащей оси у. Т.к.  то для выполнения условия  необходимо обеспечить .

   В итоге можем определить напряженность поля в любой точке М.

            ;                 .

Формулы Максвелла для определения потенциалов,

зарядов и емкостей в системе проводников.

В ряде случаев необходимо рассчитать поле создаваемое системой заряженных тел расположенных над проводящей пов-ю. Вэтом случае используют 3 группы формул Максвелла, основанных на принципе наложения и метода зеркальных изображений. Определения отдельных составляющих этих формул для тел произвольной формы является сложной задачей. Практическое значение имеют формулы приблизительно к многопроводным линиям.

   Пусть над проводящей пов-ю расположено n проводов -радиус n-го повода -высота подвеса. Пусть , тогда фиктивная заряженная ось совпадает с осью самого провода.

   Определим потенциал точки М в диэлектрике согласно методу наложения                    -составл. потенциала от действия провода №1 и т.д.

;  

   Перемесим точку М на поверхность первого провода, тогда ; ; ; ; тогда потенциал 1 провода определим как

.

   Аналогичное выражение можно записать для потенциалов остальных поводов в сокращенной форме записи:

                    (*)

…………………………………...

 -первая группа формул Максвелла позволяет определить потенциалы проводов по известным зарядам. Здесь -потенциальные коэффициенты.

Они зависят от геометрических разрядов тел, их взаимного расположение и свойств среды.

-собственный потенциальный коэффициент, численно равен потенциалу к-того провода, если заряд к-того провода равен 1, а заряды остальных проводов равны 0.

 - взаимный потенциальный коэфф., численно равен потенциалу  к-того провода, если заряд n-го провода , а заряды остальных проводов равны 0.

   Все потенциальные коэффициенты – положительны.

   Запишем 1 группу для сектора из 2 проводов.

     Будем считать известными потенциалы проводов, а заряды подлежат определению:

  ,  где

,  где         

   Обозначим:

; ; ; ; .

   Коэффициент  можно записать в др. виде:

; ; ; ,  где .

    Рассуждая аналогично, запишем вторую форму Максвелла для системы из 2 проводов.

.

                           (**)

…………………………

Где  ; ; .

- собственный емкостный коэфф. численно равен заряду к-того провода при условии, что потенциал к-того провода В, а потенциалы ост.проводов = 0.

-взаимный емкостный коэфф. численно равен заряду к-того провода при условии, что потенциал n-го провода = 3В, а потенциалы остальных проводов=0.

Запишем 2 группу формул Максвелла для системы 3-х проводов, изображенных на рисунке.  

.

…………

.

Все собственные емкостные коэфф.- положительны.

.

   Последние обстоятельство является недостатком 2-й группы формул Максвелла.

   Перепишем систему (**) так, чтобы в правой части были не потенциалы , а разности потенциалов между данным проводом и всем остальным в том числе и землей.

  т.к.

               .

                                          

                      

    

где  -полная сумма

  

                                         -собственная частичная емкость

                                  -взаимная частичная ёмкость.

   С учетом принятых обозначений:

.

                      (***)

                                          …………………………