Теория электромагнитного поля. Закон Кулона. Теорема Гаусса в интегральной форме, страница 3

Если известен закон изменения потенциала в любой точке поля, то можно определить и напряжённость в любой точке. Действительно в декартовой системе координат вектор  можно представить в виде:

учтём, что

; ; .

Тогда

Уменьшая приращения по осям и переходя к пределу, получим:

 (9)

(9) связь между зарядом и полем в дифференциальной форме.

Выражение в скобках градиент скалярной величины .

Градиент-вектор направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой изменится от одной точки пространства к другой.

(-)

Закон (-) говорит то, что напряжённость и градиент направлены в противоположные стороны.

Существует ещё одна форма записи градиента через дифференциальный оператор Гамильтона. Набла  -сумма частных производных по отдельным координатным осям умноженным на соответствующие одиночные векторы.

При графическом изображении полей, кроме силовых линий так же строят эквипотенциальные поверхности (поверхности равного потенциала). След пересечения эквипотенциальной поверхности с плоскостью чертежа, называют эквипотенциальной линией.

Уравнение эквипотенциальной поверхности или линии, .

Поскольку при перемещение заряда вдоль эквипотенциали работа не совершается, то    силовые и эквипотенциальные линии пересекаются под углом 90 градусов.

Обычно при построении картины поля эквипотециали проводят так что бы между соседними (смежными) всегда была одна и та же разность потенциалов, тогда густота эквипотенциальных линий даёт возможность судить о напряжённости поля (там где они расположены ближе друг к другу, напряжённость поля больше).

Диэлектрики в электростатическом поле. Вектор поляризации.

Различают диэлектрики: с полярными и неполярными молекулами.

У неполярных диэлектриков (H, N, слюда, парафин) при отсутствии внешнего поля ядра, атомы находятся в центре орбит электронов, и атомы (молекулы) являются электрически нейтральными.

При появлении внешнего поля орбиты электронов смещаются в направлении противоположному полю, и ядро атома оказывается смещённым относительно центра электронных орбит:

Такой атом можно рассматривать как электрический диполь, то есть как пару разноимённых зарядов, находящихся на расстоянии 4 друг от друга.

Величина (дальность) расхождения зарядов 4, ограниченно внутримолекулярными силами и поэтому такие заряды называются связанными.

При исчезновении внешнего поля исчезает и смещение электронных орбит.

 У полярных диэлектриков (хлористый N) молекулы и при отсутствии внешнего поля образуют диполи, расположенные хаотически в объёме диэлектрика.

При появлении внешнего поля диполи полярного диэлектрика ориентируются по полю.

Таким образом в полярных и неполярных диэлектриках при наличии внешнего поля диполи ориентируются по полю.

Явление изменения расположения связанных зарядов в диэлектрике, вызванным внешним полем называется поляризацией.

Электростатическое поле диполей ослабляет внешнее поле и результирующая напряжённости поля в диэлектрике . Это ослабление учитывается с помощью относительной диэлектрической проницаемости , которая показывает во сколько раз результирующая напряжённость в веществе меньше напряжённости в вакууме.

Назовём электрическим моментом диполя вектор , направленный от “-“ заряда к “+“:

Мерой поляризации вещества является вектор поляризации равный электрическому моменту диполя к единице объёма вещества:

Среда во всех точках которой  для поле любых направлений называется однородной.

Среда проявляющая различные свойства, в зависимости от напряжения поля называется анизотропной.

Для большинства изотропных сред вектор поляризации пропорционален напряжённости поля:

k-электрическая (диэлектрическая) восприимчивость вещества.

Вектор электрической индукции.

Электрическим смещением (электрической индукцией ) называется векторная величина характеризующая электростатическое поле.

Для вакуума:

Для поля в диэлектрике (*)

Кроме того для изотропного диэлектрика выполняется (**).

Сравнивая (*) и (**):

Теорема Гаусса в интегральной форме.

Начнём с определения величины называемой потоком. Рассмотрим в электростатическом поле произвольную замкнутую поверхность.