Линейные операторы и функционалы. Часть 1

ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ

Оператором называют отображение элементов одного метрического пространства Х  в элементы другого метрического пространства Y, что кратко записывается в форме y = Ax. Множество элементов, на котором определен оператор, называют областью определения , а соответствующее множество элементов  в Y – областью значений. Если Y – числовое множество, то оператор превращается в функционал. Если X – также числовое множество, то речь идет о функции y = f(x). Если уравнение y = Ax разрешимо относительно х при любом у из области значений оператора А, т. е. х = А^–1у, то говорят, что оператор А обратим, и А^–1 – его обратный оператор.

Оператор А непрерывен, если для любой сходящейся последовательности векторов из области определения  следует , где r_х и r_у –  метрики ЛП Х и Y соответственно.

Оператор А называется ограниченным, если существует такая постоянная С, что для всякого  выполняется неравенство . Наименьшее из чисел С называется нормой оператора и обозначается . Для любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное, норму   можно определить следующим образом:

=.

Понятие оператора широко используется в современной теории систем, описывая связь между входом и выходом системы. В информационных системах последовательное действие операторов (произведение) описывает преобразования, осуществляемые над входными данными в процессе передачи и извлечения полезной информации.

Среди операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, наиболее общие результаты можно получить, рассматривая линейные операторы.

Определение. Пусть Х и Y – линейные нормированные пространства. Оператор А, действующий из Х в Y (), называется линейным, если выполняется условие, называемое принципом суперпозиции. Для любых  и , где – область определения оператора А, а F – поле, над которым задано ЛП Х, справедливо равенство:

.

Это означает, что линейный оператор аддитивен, , и однороден, .

Приведем примеры линейных операторов.

1.  Линейный оператор в конечномерных пространствах R_n и С_п. Рассмотрим для определенности R_n с базисом , k = 1, 2, …, n. Для произвольного вектора   из R_n можно записать , и в силу линейности оператора А: . Таким образом, линейный оператор полностью определен, если известно, как он действует на базисные вектора.

Рассмотрим ЛП  – область значений оператора А и выберем в нем базис , l = 1, 2, …, m, m £ n. Тогда можно записать , где a_ik – координаты преобразованного базисного вектора  относительно базиса , и  .

Таким образом, результат действия любого линейного оператора А на вектор  в конечномерном пространстве сводится к умножению вектора  на матрицу оператора , i = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n. Ранг этой матрицы (наивысший порядок отличных от нуля миноров) определяет размерность подпространства  (область значений оператора А). Если = Х и =Y (оператор А отображает Х  на Х), то базисные системы  и  совпадают и координаты a_ik (элементы матрицы оператора) вычисляются относительно исходного базиса .

2.      Рассмотрим оператор поворота вектора на плоскости на угол j. Ортонормальным базисом в R₂ будет система векторов = (1, 0), = (0, 1). Преобразованные (повернутые на угол j) базисные вектора можно записать в исходном базисе как  и . Таким образом, матрица поворота любого вектора на плоскости имеет вид

.

Вектор  = (–3, 2) после поворота на угол j будет иметь вид

А = (–3cos j – 2sin j, –3sin j + 2 cos j).

3.  Важную роль играет тождественный, или единичный, оператор Е, который любой вектор из Х превращает в самого себя, т. е. E=. Для R_n этот оператор определяется единичной матрицей Е.

3.  Рассмотрим наиболее употребительные линейные операторы в функциональных пространствах C [a, b] и L₂ [a, b]. Простейшим оператором в C [a, b] и L₂ [a, b] является умножение произвольной функции f(t) Î C [a, b] или L₂ [a, b]  на фиксированную функцию , также принадлежащую рассматриваемым ЛП, т. е. А f(t) =  f(t).

Весьма важным является оператор дифференцирования. Областью его определения в С [a, b] и L₂ [a, b] является множество дифференцируемых функций. Более общим является дифференциальный оператор n-го порядка D_n, определяемый как , где j_k(t) – фиксированные функции. Областью определения оператора D_n является множество n раз дифференцируемых функций.

Так, например, оператор  определяет собственные колебания тока f(t) = i(t) в последовательном колебательном контуре.

Большую роль в приложениях играют интегральные операторы Фредгольма  и Вольтерра . Здесь функция двух переменных K(s, t) называется ядром оператора. Обычно для
С [a, b] предполагается непрерывность K(s, t) по обоим аргументам, а для
L₂ [a, b] – интегрируемость квадрата ядра, т. е. . Для оператора Вольтерра обычно предполагается, что функция K(s, t)  непрерывна при s < t и K(s, t) = 0 при s > t.