Другие предметы \ Радиотехнические цепи и сигналы

Задача синтеза и анализа дискретного фильтра, страница 4

указывающее, что спектр дискретизированного сигнала является периодическим повторением спектра непрерывного сигнала (сравните с соотношением (2.5) для АЧХ дискретного фильтра). Заметим, что сигнал — это не то же самое, что последовательность отсчетов x(kT) непрерывного сигнала, а функция:

где d(t) — дельта-функция Дирака.

3.3. Определение параметров АЧХ аналогового фильтра-прототипа

3.3.1. Фильтр Баттерворта

Максимально плоская АЧХ аналогового ФНЧ описывается выражением

, (3.1)

где — частота среза аналогового фильтра, на которой АЧХ падает до уровня 0,707 от своего максимального значения; n = 1, 2, 3, … — порядок фильтра; индекс «а» при обозначении текущего значения частоты подчеркивает, что речь идет об аналоговом фильтре. Возможный вид представлен на рис. 3.1, а.

а б

Рис. 3.1

Для полного описания данной АЧХ необходимо установить две величины: частоту среза и порядок фильтра n. Первая из них рассчитывается в соответствии с соотношением (2.7), в которое должны войти определенные в 3.2 интервал дискретизации Т и значение . Порядок аналогового фильтра определяется из условия обеспечения необходимого затухания a его АЧХ на удвоенной частоте среза . Это условие записывается таким образом:

и позволяет определить минимально возможный порядок фильтра n.

3.3.2. Фильтр Чебышева

Выражение для равноволновой в полосе пропускания АЧХ ФНЧ Чебышева имеет следующий вид:

, (3.2)

где e — параметр, характеризующий неравномерность АЧХ в полосе пропускания; — полином Чебышева первого рода порядка n. Полиномы низших степеней таковы:

(3.3)

АЧХ приведена на рис. 3.1, б. Соотношение (3.1) содержит три параметра, подлежащих определению, а именно: , e и n. Частота среза аналогового фильтра находится так же, как и в 3.3.1. Значение e вычисляется по заданной неравномерности b АЧХ в полосе пропускания фильтра. При этом следует исходить из выражения

, (3.4)

где — наибольшее и наименьшее значения АЧХ фильтра Чебышева в полосе пропускания, причем необходимо заметить, что значения эти от порядка фильтра не зависят. Последний определяется, как и в 3.3.1, приведенным в задании значением затухания АЧХ a, но более сложным образом.

Следует решить неравенство вида

, (3.5)

где имеет тот же смысл, что и в соотношении (3.3), а определяется уже упомянутым параметром e и значением полинома Чебышева порядка n при x = 2, т. е. . Следовательно, установив из неравенства (3.4) требование к значению , необходимо, пользуясь формулами (3.2), подобрать наименьшее подходящее значение n, которое и будет порядком фильтра.

3.4. Определение системной функции, анализ устойчивости и реализация дискретного фильтра

При синтезе дискретного фильтра методом билинейного z‑преобразования его системную функцию H(z) определяют исходя из коэффициента передачи аналогового фильтра-прототипа K(p), записанного в операторной форме. При этом используется подстановка (2.6). Функция передачи фильтра Баттерворта нижних частот порядка n записывается как

, (3.6)