Новый алгоритм и оценка точности определения на судне центра масс по сигналам спутниковых радионавигационных систем, страница 3

2.2. Не представляет принципиальных трудностей построить вспомогательную ортогональную систему координат, где ось вращения будет совпадать с ординатой, а плоскость окружности содержать оси абсцисс и аппликат. Тогда математическое описание и оценка точности  процессов определения места ЦМ в общем случае   смешанной качки должны быть подобны  описанию  и оценке точности  при бортовой качке (когда плоскость окружности параллельна поперечной плоскости судна).

3. Погрешности  оценки координат центра круговой траектории  по трем ее точкам при идеальной бортовой качке .

3.1. Модели (п.1.3) идеальной бортовой качки все точки окружности имют одинаковые ординаты у_-1=у₀=у₁=у. Поэтому в (1),(2) все ординаты сокращаются и эти уравнения в плоскости z0x  описывают прямые:

x2(x₀-x_-1)+z2(z₀-z_-1)-x₀²-z₀²+x_-1²+z_–1²=0         (4)
x2(x₁-x₀)+z2(z₁-z₀)-x₁²-z₁²+x₀²+z₀²=0,            (5)
пересечение которых определяет центр окружности.

3.1.1.Сначала рассмотрим  случай безошибочных измерений. Пусть в момент нулевого крена t₀  и в моменты времени t _–1  и  t₁, симметричные t₀,  аппаратура потребителя выдает оценки координат  {x _–1  z _-1},  {x₀  z₀},   {x₁  z₁} трех точек, отрезки между которыми являются хордами окружности. При отсутствии погрешностей измерений будут одинаковы по модулю углы крена a₁=-a_-1=a  и справедливы равенства x₀=0, z₀=R+h_Ц, -x_-1=x₁=Rsina, z_–1=z₁=Rcosa+h_Ц, z₀-z₁=2Rsin²(a/2).                                                                      (6)
    Каждое  из уравнений (4), (5) соответствует перпендикуляру, восстановленному из средней точки одной из хорд. Точка пересечения  этих перпендикуляров и есть центр окружности с координатами Х_Ц=D_Х/D и Z_Ц=D_Z/D, выражаемыми (при отсутствии погрешностей) через главный и частные определители:         

    x₀-x _–1  z₀-z _-1    

D=4                        = -32R²cos(a/2)sin³(a/2)    
        x₁-x₀        z₁-z₀      

         x₀²+z₀²-x_-1²-z_–1²      z₀-z _–1                                  
D_X=2                                       =0                                              
         x₁²+z₁²-x₀²-z₀²      z₁-z₀     

          x₁-x _–1   x₀²+z₀²-x_-1²-z_–1²  
D_Z=2                                        = -32R²h_Ц cos(a/2)sin³(a/2),
          x₁- x₀      x₁²+z₁²-x₀²-z₀²   

  
которые приводят к искомым параметры X_Ц=0, Z_Ц=h_Ц  (при условии отсутствия реальных погрешностей измерений.

  3.2. Учтем теперь наличие погрешностей  Dх_А и Dz_А измерений координат антенны, выражая измеренные координаты как x_A^изм=х_А+Dх_А, z_A^изм=z_А+Dz_А, полгая (х_А+Dх_А)²@х_А²+2х_АDх_А,   (z_А+Dz_А)²@z_А²+2z_АDz_А из-за возможности исключения величин второго порядка малости. Пусть случайные погрешности местоположения антенны имеют нулевые средние значения и  распределены в пространстве равномерно. СКП этих погрешностей в направлении каждой из трех ортогональных осей   СКП составляет s_ZA=s_YA=s_XA=s_А/3^0,5. Поэтому математическое ожидание М суммы квадратов по двум осям равно : М(Dх_А²+Dz_А²)=(2/3)s_А². Эти погрешности приведут к изменению определителей, которые обозначим как D^изм=D+_DD, D_Х^изм=D_Х+_DD_Х, D_Z^изм=D_Z+_DD_Z. . Появятся погрешности и искомых оценок X_Ц^изм=X_Ц+DX_Ц, Z_Ц^изм=Z_Ц+DZ_Ц, .

3.2.1. Главный определитель D^изм выразим как D^изм=D+_DD=D(1+dD),

где dD=_DD/D. После выкладок получим

_DD= =8{(Dz _-1-2Dz₀+Dz₁) cos(a/2) - (Dx₁-Dx _–1)sin(a/2)}Rsin(a/2).

 Разделив на D, получим

dD=_DD/D= -(Dz _-1-2Dz₀+Dz₁)/ [4R sin²(a/2)] +(Dx₁-Dx _–1)/(2Rsina) .

3.2.2. В частном определителе  D_Х^изм =D_Х+_DD_Х первое слагаемое равно нулю (см. п.3.1), а с учетом (6)
 _DD_Х = -8[(x₁.Dx₁ + z₁.Dz₁- x _-1.Dx _-1-z _-1Dz _-1)-(D z₁-Dz _-1)h_z]Rsin²(a/2)=

= -8[(Dx₁-Dx _-1)Rsina+(Dz₁-Dz _-1)(Rcosa+h_Ц- h_Ц)]R sin²(a/2).

Поскольку DX_Ц»_DD_Х/D, то DX_Ц»(Dx₁-Dx _-1)/2+(Dz₁-Dz _-1)/(2tga)             (7)

При a=15⁰=0,2618 радиан второе слагаемое примерно в 4 раза больше первого. СКВ DX_Ц  будет близка к 2s_А»1 см,

3.2.3. Оценка искомого параметра Z_Ц^изм =D_Z^изм/D^изм находится как