Новый алгоритм и оценка точности определения на судне центра масс по сигналам спутниковых радионавигационных систем, страница 2

       Для определения второй производной z² в точке x=0 по экспериментальным данным необходимы минимум три значения: z_-1=z(-h), z₀=z(0), z₊₁=z(+h). При малых h и отсутствии погрешностей измерений можно (с помощью формул  /7/,с.904) установить, что

 z²₀=(z_-1-2z₀+z₁)/h²=1/R. Из-за погрешностей измерени появится и погрешность DR » R²Dz²= R²(Dz_-1-2Dz₀+Dz₁)/h². Существуют и другие варианты  определения z², Поэтому возможен /1, 2/ и поиск наиболее оптимального варианта, что, к сожалению, из-за громоздкости и высокого уровня понятий дифференциальной геометрии оказалось пока  затруднительным.

     В процессе трудоемких поисков путей исключения таких трудностей  и освоения геометрических особенностей выполняемых исследований  первый автор статьи выявил принципиально важный  и  простой метод построения нового алгоритма  решения задач /1, 2/   в обще случае расположения оси вращения в пространстве.

2. Новый алгоритм определения  оси  и центра плоской круговой пространственной траектории  по трем ее точкам в пространстве.

 2.1. Пусть в три момента времени t_j  аппаратура потребителя выдает оценки координат  (x_j у_j z_j ), j= -1, 0, +1 трех точек Р_-1, Р₀, Р₊₁ плоской окружности постоянного искомого радиуса R.

2.1.1. «Проведем» хорды  - направленные отрезки Р_-1Р₀ и Р₀Р₊₁, т.е. вектора хорд с проекциями   (x₀-x _-1), (y₀-y _-1), (z₀-z _–1)   и  (x₀-x₊₁), (y₀-y₊₁), (z₀-z₊₁).  Координаты средних точек (x_-С, y_-C, z_--C) и (x_+C y_+C z_+C)  хорд  равны полусумме координат граничных точек, например:
x _–С=(x₀+x _-1)/2,  y_-C=(y₀+y _-1)/2,   z _–C=(z₀+z _–1)/2,    x_+C=(x₀+x₊₁)/2 и т.д.

   Через средние точки «проводится» плоскости, перпендикулярные хорде. Уравнения таких  плоскостей выражаются (/6/ п.3.2-1b3) равной нулю суммой произведений проекций  вектора хорды на разности проекций  текущей и средней точек:

           (x₀-x _-1)(х-х _-C)+(y₀-y _-1)(у-у_-C)+ (z₀-z _-1)(z-z _-C)=0,

           (x₀-x₊₁)(х-х_+C)+(y₀-y₊₁)(у-у_+C)+ (z₀-z₊₁)(z-z_+C)=0, или:

  x2(x₀-x _-1)+y2(y₀-y _-1)+z2(z₀-z _-1) -x₀²-y₀²-z₀²+x _-1²+y_-1² +z _–1²=0           (1)
  x2(x₀-x₁) + y2(y₀-y₁) + z2(z₀-z₁)  - x₀²-y₀²-z₀²+x₁²+ y₁² + z ₁²= 0           (2) 

Первые три коэффициента уравнений (1) и (2), переписанных в общем виде xA_-1+yB_-1+zC_-1+D_-1=0, xA₁+yB₁+zC₁+D₁=0, превышают вдвое прекции вектора хорд. Эта две плоскости определяет прямую линию  их пересечения, проходящую через центр окружности по нормали, пропорциональной  векторному произведению двух векторов с проекциями (A_-1 B_-1 C_-1) и (A₁ B₁ C₁), Это ось вращения корпуса судна, определявшаяся более сложно в /1, 2/.

 2.1.2.    Уравнение А₀х+В₀y+C₀z+D₀=0 плоскости окружности  может (однозначно при отсутствии погрешностей измерений) определяться, например, как включающая три заданных точки концов двух хорд.  Такое уравнение (/7/, п.3.2.1b4) в общем виде представляется как

 y_-1  z _–1 1               z_-1  x _-1 1                  x _-1 y_-1  1         x _-1 y_-1   z _–1

  y₀    z₀   1 x +    z₀  x₀   1 y +        x₀  y₀    1 z --  x₀   y₀   z₀     = 0           (3)

 y_+!   z_+!  1                 z ₊₁ x₊₁ 1                    x₊₁ y_+!  1        x₊₁ y_+!   z_+!

Вместо (3) можно плоскость окружности в принципе определить и по одной или по всем местоопределяемым точкам траектории.

2.1.3. Точка, удовлетворяющая уравнениям плоскостей (1), (2), (3), т.е.

xA_-1+yB_-1+zC_-1+D_-1=0,   xA₁+yB₁+zC₁+D₁=0,   А₀х+В₀y+C₀z+D₀=0,

и есть центр окружности. Главный D и частные D_X, D_Y, D_Z определители такой системы соответственно равны (/7/, 3.4-5d):

      A_-1 B_-1 C_-1        D_-1 B_-1 C_-1       A_-1  D_-1  C_-1        A_-1  B_-1  D_-1   

   -  A₀  B₀  C₀        D₀  B₀  C₀        A₀   D₀   C₀        A₀  B₀   D₀   

      A₁  B₁  C₁        D₁   B₁   C₁        A₁   D₁   C₁        A₁  B₁   D₁