2. Существует абсолютный максимум . Достигается он при . Точное значение резонансной частоты можно получить исследуя максимум резонансной кривой – рис. n7. Ей соответствует минимум подкоренного выражения в (20). Дифференцируя подкоренное выражение и приравнивая производную к нулю получаем точное значение резонансной частоты: . В пределе малого затухания , . При частоте вынуждающей силы, равной собственной частоте осциллятора наступает резонанс. Как видно, коэффициент передачи в этом случае наибольший, причем равен добротности осциллирующей системы. А добротность тем выше, чем меньше затухание.
3. В пределе больших частот Коэффициент передачи стремится к нулю по закону .
Замечание. В пределе малых частот постоянная вынуждающая сила задает дополнительное постоянное смещение – амплитуда колебаний стремится к величине отклонения, которое было бы под действием постоянной силы. .
При резонансе амплитуда колебаний в раз больше, чем .
Используя общие свойства комплексного числа, представим комплексную амплитуду в виде: . Реальная и мнимая части определяются:
(21)
Окончательно, полное решение уравнения колебаний (16) имеет вид:
(22)
Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде внешней силы .
Из выражения (22) следует, что смещение отстает по фазе от вынуждающей силы на угол , тангенс которого определяется из:
(23)
При стремлении к нулю . Угол из области положительных значений.
С ростом и приближением частоты к собственной частоте осциллятора , вблизи резонанса , следовательно .
При переходе через т. скачком достигает бесконечных отрицательных значений .
В пределе , следовательно . График функции приведен на рис. n9.
Из комплексного вида решения можно выделить, например, его действительную часть. Тогда, общий вид представим формулой:
В резонансе:
Скорость колеблющегося тела можно получить дифференцированием приведенных выражений:
В резонансе:
.
Умножая на убеждаемся, что при резонансе вынуждающая сила равна силе трения. Отметим, что сдвиг фазы между скоростью и силой равен нулю.
Интересно убедиться, что амплитуда скорости установившихся вынужденных колебаний определяется выражением:
Легко видеть, что эта величина достигает максимума при . Наступает резонанс скорости. Из уравнения (23) видно, что сдвиг фазы между смещением и вынуждающей силой при достигает . Всегда между смещением и скоростью имеется точно такой – же сдвиг. Следовательно, при резонансе скорости внешняя сила и скорость совпадают по фазе. Другими словами сила в произвольный момент времени действует в направлении скорости, работа внешней силы положительна и идет на преодоление сил трения.
Замечания относительно превращения энергии при вынужденных колебаниях. Полная мгновенная величина энергии осциллятора при произвольной частоте:
меняется со временем в течение периода. Внешняя сила совершает работу, компенсируя потери энергии из-за силы трения лишь за период.
При низких частотах средняя за период кинетическая энергия гораздо меньше средней потенциальной, т.к. мала скорость тела. При высоких частотах напротив, кинетическая существенно больше потенциальной. В резонансе - при совпадении частот внешней силы и собственной частоты осциллятора, средние за период кинетическая и потенциальная энергии сравниваются.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.