Стационарный пограничный слой на пластине в газовом потоке, страница 9

          (10.2)

В систему (10.2) входят следующие выражения:

                                        

Система (10.2) описывает развитие возмущений в пространстве и времени, ее коэффициенты – известные функции, определяемые стационарным решением.

Интегрирование системы (10.2) представляет сложную задачу. Точных ее решений в настоящее время нет. Однако существует широкий класс течений, когда возможны упрощения системы. К ним относятся течения в пограничном слое, в свободных и пристенных струях, слоях смешения. Такие течения можно рассматривать как близкие к параллельным.

10.3. Приближение параллельного течения

Пусть течение осуществляется в направлении x1, а параметры потока  зависят только от x2. Тогда частные решения системы (10.2) можно записать в виде

,                                    (10.3)

здесь a и b - волновые числа  возмущения, c - фазовая скорость. В общем случае a, b и ac - комплексные числа. Если рассматривать решения для действительных a, b и комплексных c, то мы будем изучать возмущения, растущие во времени (временная неустойчивость). В большинстве реальных течений возмущения растут не во времени, а в пространстве (пространственная неустойчивость). Такие течения описываются при реальных ac и комплексном a. В первом случае устойчивость течения определяется знаком Im c = ci, во втором – знаком Im a = ai.

Подстановка выражения (10.3) в систему (10.2) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая очень громоздка. Однако, если учесть, что неустойчивость возникает при больших числах Рейнольдса и пренебречь членами, содержащими множитель 1/Re в безразмерной записи уравнений (кроме члена со старшей производной), мы получим следующую систему уравнений:

                                      (10.4)

Здесь V, r, T, m, P - осредненные скорость, плотность, температура, вязкость, давление; f, aj, h - амплитуды возмущений скорости (продольной, нормальной, боковой (трансверсальной)); p, q, r - амплитуды возмущений давления, температуры, плотности; М – число Маха, Re, Pr - число Рейнольдса, построенное по толщине пограничного слоя, и Прандтля; штрих означает дифференцирование по координате y = x2/d.

Граничные условия задачи (10.4) зависят от конкретного течения. Для течения в пограничном слое их можно взять в виде

f(0) = j(0) = q(0) = 0.                                              (10.5)

f, j, q  ограничены при y ® ¥.

10.4. Уравнение Орра-Зоммерфельда

Рассмотрим более простой случай развития двумерных возмущений в несжимаемой жидкости. В системе (10.4) останутся существенными следующие уравнения:

                          (10.6)

которые можно свести в одно дифференциальное уравнение

                                      (10.7)

Уравнение (10.7) представляет собой упрощенный аналог известного уравнения Орра-Зоммерфельда

,                    (10.8)

из которого исключены члены с множителем 1/Re при производных низших порядков.

10.5. Задача на собственные значения

Решение (10.4) с граничными условиями (10.5) представляет собой классическую задачу на собственные значения, в которой с является искомым собственным значением для каждой пары величин (a, Re).

Рассмотрим, например, устойчивость течения несжимаемой жидкости в пограничном слое на пластине. Для определенности предположим, что возмущения развиваются во времени (a- вещественное, c - комплексное). Граничные условия (10.5) можно принять в виде

j(0) = j’(0) = j(¥) = 0.                                          (10.9)

Так какV(¥) = V¥ = const, уравнение (10.8) вдали от поверхности переходит в уравнение с постоянными  коэффициентами. Его решение вне пограничного слоя, удовлетворяющее третьему условию (10.9), будет

                                   (10.10)

После того как численным или аналитическим методом найдены решения j1 и j2 в области пограничного слоя, необходимо подобрать такие константы c1 и c2, чтобы выполнялись два оставшихся условия (10.9) на поверхности. Эти условия дают уравнение для определения c