Стационарный пограничный слой на пластине в газовом потоке, страница 7

Полученная таким образом система дифференциальных уравнений в частных производных описывает поведение возмущений во времени и в пространстве. Поставив соответствующие начальные и граничные условия, эти уравнения надо проинтегрировать и определить растут возмущения или нет, то есть устойчиво движение или неустойчиво. В настоящее время такую задачу можно решить только для некоторых частных случаев, используя возможности современных супер-ЭВМ. Для ее решения продолжают создавать и совершенствовать теорию и численные методы. Однако предварительную информацию можно получить, основываясь на решении упрощенных уравнений.

10.1. Линейная задача устойчивости

Наибольшие упрощения возможны при рассмотрении бесконечно малых возмущений. В этом случае можно опустить члены высших порядков по малой величине v1 в уравнениях устойчивости и система значительно упрощается. Дальнейшее упрощение возможно при рассмотрении плоскопараллельных течений - течений, у которых стационарные решения V0 зависит только от одной переменной, скажем y - нормальной к поверхности обтекаемого тела. Тогда v1 и p1 удовлетворяют системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координаты y, но не от времени, и другой координаты x, направленной по потоку (для простоты рассматриваем двумерное течение, не зависящее от трансверсальной координаты).

Решение полученной системы уравнений можно искать в виде элементарных волновых решений пропорциональных exp[ia(х-сt)]. Граничными условиями являются исчезновение v1 на твердой неподвижной поверхности и на бесконечном удалении от нее, то есть граничные условия тоже однородны. При этом возникает задача отыскания при заданном числе Рейнольдса Re значений фазовой скорости с и волнового числа a, для которых линеаризованные однородные уравнения при однородных граничных условиях имеют нетривиальное решение, то есть возникает задача на собственные значения. В процессе решения получается неявная зависимость между a, Re и с, которую называют характеристическим уравнением D(a, Re, с)=0. В общем случае a и с - комплексные числа и неустойчивость развивается во времени и в пространстве.

Можно разделить временную и пространственную неустойчивости. Для временной неустойчивости полагаем, что a - вещественное число, а с = сr + iсi - число комплексное. Тогда решение будет неустойчивым, если сi > 0, и устойчивым, если сi < 0. Обычно эволюцию во времени любого возмущения, возникающего в момент времени t = 0, можно проследить, рассматривая его разложение по элементарным волновым решениям.

К ситуациям, практически реализуемым на летательных аппаратах, более подходит рассмотрение пространственной неустойчивости. Предполагается, что возмущения являются периодическими  во времени, но с амплитудой, изменяющейся при движении в направлении течения. Тогда следует считать действительной частоту w =a с , а волновое число a=ar + iai - комплексным, где ar=2p/l задает длину волны l, а ai - скорость пространственного нарастания возмущений. Если ai > 0  возмущение затухает при его распространении в направлении течения, течение устойчиво; если ai < 0, возмущение растет с ростом продольной координаты х, течение неустойчиво.

Мы также можем ввести понятия абсолютной и конвективной неустойчивости. Если при абсолютной неустойчивости процессы нарастают во времени и могут охватить  всю систему, то при конвективной неустойчивости возмущения сносятся к выходу из системы (в нашем случае к задней кромке крыла самолета). При не слишком большой длине системы и хорошо согласованном выходе (отсутствие отраженных волн) возмущения могут покинуть систему, не достигнув заметной величины.

Понятно, что при сi=0 (или ai=0) решения для временной и пространственной неустойчивости совпадают. В этом случае возмущения не растут ни в пространстве, ни во времени. Такое состояние называется нейтральным.