Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами и её общее решение (все теоремы n-ного порядка), страница 3

Доказательство: (с использованием теоремы о неподвижной точке).

Вводится пространство М – непрерывных функций x(t), t

Это полное метрическое пространство. «Полнота» вытекает из свойств чисел (фундаментальная последовательность сходится).

Теперь строим из (1) оператор: пусть существует некое решение задачи Коши - непрерывна - непрерывнаинтегрируется от t до t_fix  - оператор.

Ax=  Каждой неопределенной функции оператор ставит в соответствие другую неопределенную функцию. Если x(t) – решение (1)x(t) – неподвижная точка, так как x(t)=Ax.

Обратно: пусть x(t) – неподвижная точка, при получаем задачу Коши – выполняется система. Функция - дифференцируема, так как суперпозиция непрерывных функций, и вместо Следовательно, для того чтобы  - было решением задачи Коши, необходимо и достаточно, чтобы  - была неподвижной точкой такого оператора Ах, то есть проведена редукция. Теперь надо понять, когда же оператор будет сжимающим? . Посчитаем:  - это supнайдем: .

Рассмотрим (по условию Липшица)не зависит от tи sup тоже не

зависит от t 

описываем: - по определению это сжимающее. Следовательно x(t) – неподвижная точка и значит задача Коши имеет единственное решение.{Для системы сформулировать самим n(b-a)k=q<1}.

Пример: (решение имеется, но не единственное)

, условие Липшица не выполняется.

Здесь как min 2 решения: x = 0 и x(t) = . .

Задача Дирихле для уравнения Лапласа.

Задача: Восстановить гармоническую функцию  в обл D по значениям на границе

 уравнение Дирихле для уравнения Лапласа

Задача Дирихле для уравнения Лапласа имеет не более одного решения из .

Док-во: пусть  2 решения  и

 и 

Введем функцию V= =>=>  и min, и max=0 (т.к. дост на границе)=> по принципу max V=0 => = ч.т.д.

Теорема о единственности для гармонической функции. (без свойств гармонической функции)

Th1: Гармоничная ф-ция класса   однозначно определяется на границе  обл D

Доказательство:

I Для 2-х переем: n=2

U(x,y), ,  Нужно док-ть, что U(x,y)0  

1.  Ф-ла Грина

Q и P

2.  Полагаем  , где U(x,y)- любая ф-ция класса

Тогда  

3.  Возьмем в кач-ве ее U – гармонич =>

4.   (x,y)=>    (x,y)

5.  Т.к.  непр ч.п., которая = 0 => U=const

6.  Т.к.   => U(x,y)=0 (c=0) ч.т.д.

II n=3   ,

1.  Гаусса- Остраградского

2.  P ; Q ; R, где произволная ф-ция класса  =>

3.  Возьмем в кач-ве U:  и  =>  

4.     т.к. инт-л равен 0 =>

  

5. Т.к. U имеет ч.п.=0 => =const  (x,y,z)

5.  Т.к.  => const=0 => =0 в D, ч.т.д.

Определение понятия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.

Элементы теории устойчивости

(1)    -  n штук функций - непрерывно дифферинциируемая функция

  ,   j=1,2,…,n

По решению задачи Коши  решение, устойчивое для малых t, т.е. мало меняется в окрестности  {из теории неподвижных точек}. Локальная устойчивость вытекает из теоремы неподвижных точек. Ляпунов ввел понятие устойчивости!

Определение: Решение  системы уравнений (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого , такая что - решение (1):

  устойчивость в случае центра, устойчивость в случае узла и устойчивость в случае фокуса.

Если при этом выполнено условие:  асимптотически устойчива

Понятие о ФСР линейных уравнений.

Рассмотрим:  a_j(t) – непрерывны на . Если f(t)=0 однородное уравнение. Если a_j(t) = const линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши для этого уравнения: уравнение + , k=1,2,…,n-1, . Здесь тоже есть общее и частное решение. Имеет место фундаментальный факт: уравнение имеет ровно n линейно независимых решенийсистема из n уравнений – фундаментальная система решений и все остальные выражаются  линейно через неё.

EX: y’’+a²y=0решения sin(at) и cos(at). y(t)= c₁cos(at)+c₂sin(at) – это  решение.

Метод разделения переменных и его использование при решении начальных краевых задач ( Метод Фурье) – уравнение теплопроводности, волновое уравнение.

1 - Ур-е теплопроводности: