Математика \ Математический анализ

Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами и её общее решение (все теоремы n-ного порядка), страница 2

Геом.смысл:

F(t,y(t)) – определяет tg угла наклона касательной

Т.е. опред. поле направлений

Если F – непрерывна в прямоугольнике, то

решение существует (по Т. Пеано)

Нужны доп. условия Условие Липшица: для любого y₁ и y₂ из области ( k – константа)

Задача Коши для обыкновенных диф.ур-ий:

Начальные условие: х(0) = х_0.Задача – найти решение, подчин. начальному условию.

Система получается, если над всеми х поставить вект.

Пример: - ур-е 2-го порядка

Полагаем

(*), уравнения 1-ого порядка

А в задаче Коши => система (*) + эти данные , а

Аналогично для любого уравнения более высокого порядка

Т.Пеано: задача Коши имеет решение в случаеn=1

Но оказывается, что это решение не единственно

Если f – обладает регулярным свойством, т.е.

- условие Липшица

– для n переменных условие Липшица. Тогда, если f – непрерывна в области определения ,и по переменной существует условие Липшица => существует единственное решение в окрестности точки t₀=t(0)

Свойства гармонических функций ( без доказательства только формулировку).

Определение: функция U(x,y,z) называется гармонической в области D, если частная производная до 2 порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа

Если n=2 => . Если n=1 =>

Примеры: если n=1 => U=kx+b – неинтересно

Тогда будем изучать

Пример: U=const; ax+by+cz+d для n=3

Если n=2, а , а

n=3 => , а

Свойства:

1. Формула Грина:

n=3 пусть есть , D – ограниченная область. - непр. диф-ма с границей

n - вектор внешней нормали

-производная по направлению вектора внешней нормали

2. Необходимое условие гармоничности:

Если U – гармонич. в области D (огранич) и непр диф-ма

1 раз в замыкании

n=2

Доказательство: по условию U-гарм.

Подст в ф-лу Грина, а вместо (гарм)=1 и =>

0=ч.т.д.

3. Теорема: интегральное представление гармонической функции)

Если U гармонич в огр. области D и непредельно диф-ма в => :

n=2: ,

Доказательство: восп. ф-лой Грина. Построим шар вокруг радиуса

-шар

Если закрытый шар=>

- в этой области функция гармонич , а U – гармонич. во всей области => у нас есть 2 гармонич. ф-ции => по ф-ле Грина

(*)

Рассмотрим второе слагаемое – пов. сферы.

(т.к. направлен в разные стороны). Перепишем: (по теореме о среднем) . Первый интеграл = 0 по необх. усл-ю гарм . В итоге (*)ч.т.д.

Следствие: гарм ф-ция в D имеет частную производную порядка

Первое слагаемое , - диф-ма бесконечно, т.к. жнаменатель не 0.Со вторым аналогично

4. Теорема о среднем: (для гармонич. Ф-ций)

U гармонич в обл D => ,

Если n=2 =>

Доказательство: из интегральных представлений к границе шара:

, => второе слагаемое , по необх. призн. гарм. ф-ций

ч.т.д.

5. Принцип максимума:

Если U- гарм. в огр обл D, непр в D и если Uне const, то U не достигнет max и min в D, т.е. достигает max и min знач на границе

- не может быть

Док-во : - непр в замкн

огр обл => по Th Вейерштрасса U-огр

достигает =>

Теперь докажем, что внутри не достиг.

От противного: допустим => докажем, что (во всей D). Поэтому сначала покажем, что U=M в шаре. Строим шар.

По Th о среднем допустим, что на сфере, и окрестность , где то <M по теореме о среднем

Поэтому у нас противоречие => на сфере функция U=M. Варьируем => U=M в (в шаре) Теперь покажем для всей области

(лучше вне шара)

Соед. непр. кривой с

Непрер крив –

Точка пересечения шара и =>

Тогда аналогично показываем в шаре , что U=M. Затем и т.д. => придем к 0< точке за конечное число шагов. => для точки из D => U=MD противоречие условию ч.т.д.