Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Достаточные условия дифференцируемости функции. Интегралы, зависящие от параметра, страница 5

Доказательство: - надо доказать, что непрерывна  1)  и  ; 2) Надо док-ть противное,    - отрицание ; 3) пусть ; 4)  что - неравенство*. Выделим сход. подпослед.  т.к. . Докажем, что  по непрерывности подставим в неравенство*: .В силу единственности предела , а т.к. существует обратная единственная функция . Тогда  - мы доказали. Но из неравенства* - то эти 2 соотнош. против.

Теорема Эйлера об однородной функции

Для того чтобы диф-мая функция , , была положительно однородной степени  необходимо и достаточно, что бы выполнялось равенство : ,

Доказательство:

1) пусть функция однородна докажем, что выполняется , . Пусть  - однородна, т.е. , , , . Фиксируем  и рассмотрим  - меняющееся. Диф-ем обе части  . , т.к. . Полагаем, что   . Для любой точки  это выполнено.

2) пусть выполнено равенство , . Докажем, что  - однородность. Фиксируем  и рассмотрим функцию:

, . - диф-ма, знаменатель .

Числитель = 0, т.к. это соотношение , только в точке . Поэтому , значит . Полагая, что , видим, что     , при , .

Теория локального экстремума для функции многих переменных

Если производная чётная(чётного порядка), то экстремуму нет.

Необходимые условия экстремуму – частные производные = 0

Достаточные условия экстремума – три частные производные второго порядка, рассмотрим второй диф-ал: если квадратичная ф-ма положит. определ., то экстремум будет min, а если отриц. то  max

- диф-ал -того порядка.

Опр.: функция , , D – область, имеющая во внутренней точке  экстремум, если существует окрестность , такая что выполнено одно из двух неравенств: , либо . При этом, если , , то точка - строго min, либо , , то точка - строго max.

Теорема (необходимые условия экстремума) :

если в точке , D – область имеющая экстремум, и в этой точке , то

Доказательство: т.к. экстремум существует окрестность из D, что выполнено одно из неравенств: , либо , . Фиксируем все переменные кроме k-ой  рассмотрим  - чтобы точка не выходила из окрестности. Эта функция от одной переменной  в   достигает экстремума, эта точка внутренняя max или min существует производнаяпо теореме Ферма . Ч.т.д.

Т.е. если функция в какой-то точке дост. локального max или min, и существует частн. производные, то  все они равны нулю.

Теорема (достаточные условия):

Пусть функция дважды непрерывно диф-ма в области  и существует точка , такая что

1)  

2)  либо  либо , при . Тогда в точке  - экстремум:

Доказательство:

т.к. она дважды непрерывно диф-ма   разлагается в строку Тейлора: , где . - это квадратичная форма относ. выберем окрестность, чтобы знак квадр. формы совпадал со знаком любой части.

1) пусть ф-ма >0 , т.е.

2) пусть ф-ма >0 , т.е.

Теорема: пусть  дважды непрерывно диф-ма в  и выполнены условия

1)

2) . Тогда  в точке - экстремум max, если , или min, если

3) если же , то экстремума в точке - нет.

4) и если , то неопределенность в точке - экстремум может быть, а может и нет.

Доказательство:

1) пусть  и . Докажем, что квадратичная форма  либо >0, либо <0 существует экстремум в точке  - определитель. Пусть . Т.к. квадр. форма равна =

квадратная скобка  знак выражения зависит от знака , если выражение > 0 , а если  выражение < 0

2) пусть . Тогда возможны случаи:

* пусть  см. на . Покажем что квадр. форма имеет знак . Пусть . Пусть

* а если (либо )рассужд. повтор.

* а если   форма тоже имеет знак при изменение знака и . Поэтому экстремума нет.

3) пусть . Будем приводить примеры. 1. пусть - экстремум есть в (0,0). И  этой функции .2.  - меняет знак нет экстремума,

Достаточные условия экстремума в общем случае:

Теорема: пусть функция , раз непрерывно диф-ма в области . И существует точка , такая что

1) ,

2)  тогда если m – нечетное число, то экстремума в  нет. А если  m – четное число и плюс к этому  либо , то в точке экстремум {max, если , min если }

Доказательство:

т.к  имеет непрер. частные производные m-ого порядка → Тейлор:

 , , а , где , , . Поэтому . Знак разности  опред. только знаком, т.к  очень мало. При нечетной степени m – меняет знак, т.е. экстремума нет {нечетная функция степени m меняет знак в окрестности }. А если  m четное число, то надо рассмотреть ф-му. Если в некоторой окрестности и тоже - точка max. А если , - точка min.

Формула Грина

Теорема: