Цепи переменного тока. Элементы линейных цепей. Электрические процессы в колебательном контуре, страница 6

Пример 13.4.     “Лестница” из реактивных элементов

Рассчитать входной импеданс бесконечной электрической цепи, состоящей из чисто реактивных элементов (рис.13.4).

Решение:     

              Обозначим через Z_n импеданс конечной цепи, содержащей n звеньев. Добавление еще одного звена изменит входной импеданс на Z_n+1 (13.32). Переход к пределу при  n®¥ позволяет получить квадратное уравнение для искомого импеданса (13.33). Из двух возможных решений квадратного уравнения следует выбрать то, которое в случае ненулевого активного сопротивления проводов дает физически осмысленный результат  (13.34). Подстановка явных выражений для импедансов конденсатора и катушки приводит к искомому ответу (13.35).

              Обращает на себя внимание несколько неожиданный факт появления ненулевой действительной части у импеданса цепи, состоящей только из реактивных элементов, при частотах входного сигнала, меньших граничного значения (13.36). Пояснить ситуацию на качественном уровне легче всего в частном предельном случае нулевой частоты. При подаче на схему постоянного напряжения начинается последовательный заряд расположенных друг за другом конденсаторов. При этом ток протекает через все большее число катушек. В результате энергия от внешнего источника ЭДС непрерывно запасается в виде энергии электрического и магнитного полей. Из-за того, что цепь бесконечная, такой процесс может идти бесконечно долго.

13.5.   Входное сопротивление  коаксиального кабеля

              Коаксиальный кабели представляет собой полу бесконечный проводящий цилиндр радиуса r_> (“оплетка”), вдоль оси которого проложен центральный провод радиуса r_<, Пространство между токоведущими частями заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью e. В идеальном кабеле сопротивление металлических проводников бесконечно мало, а сопротивление утечки через диэлектрик  - отсутствует. Несмотря на это, входное сопротивление описанной полу бесконечной системы оказывается конечным и одинаковым для входных сигналов произвольных частот.

              Мысленно разделив коаксиальный кабель на бесконечно короткие секции длиной d l, задачу о расчете его входного импеданса можно свести к рассмотренной задаче о входном импедансе бесконечной лестницы сопротивлений (Пример 13.4). Каждая из бесконечно малых секций представляет собой небольшой цилиндрический конденсатор, расчет емкости которого не представляет сложности (13.37). Индуктивность системы из двух вложенных друг в друга соосных цилиндров (13.38) была рассчитана в Примере 13.2 (формула 13.17). Подстановка этих выражений в формулу для входного импеданса (13.35) показывает, что в рассматриваемой системе с распределенными параметрами он оказывается чисто вещественным (13.39).